Question

【題目】在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，E是射線DC上的點(diǎn)，連接AE，將△ADE沿直線AE翻折得△AFE．

（1）如圖①，點(diǎn)F恰好在BC上，求證：△ABF∽△FCE；

（2）如圖②，點(diǎn)F在矩形ABCD內(nèi)，連接CF，若DE＝1，求△EFC的面積；

（3）若以點(diǎn)E、F、C為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，則DE的長(zhǎng)為 ．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）、5、15、

【解析】

（1）利用同角的余角相等，證明∠CEF＝∠AFB，即可解決問題;（2）過點(diǎn)F作FG⊥DC交DC與點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)H,由△FGE∽△AHF得出AH=5GF，再利用勾股定理求解即可;（3）分①當(dāng)∠EFC=90°時(shí); ②當(dāng)∠ECF=90°時(shí);③當(dāng)∠CEF=90°時(shí)三種情況討論解答即可.

（1）解：在矩形ABCD中，∠B＝∠C＝∠D＝90°

由折疊可得：∠D＝∠EFA＝90°

∵∠EFA＝∠C＝90°

∴∠CEF＋∠CFE＝∠CFE＋∠AFB＝90°

∴∠CEF＝∠AFB

在△ABF和△FCE中

∵∠AFB＝∠CEF，∠B＝∠C＝90°

△ABF∽△FCE

（2）解：過點(diǎn)F作FG⊥DC交DC與點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)H，則∠EGF＝∠AHF＝90°

在矩形ABCD中，∠D＝90°

由折疊可得：∠D＝∠EFA＝90°，DE＝EF＝1，AD＝AF＝5

∵∠EGF＝∠EFA＝90°

∴∠GEF＋∠GFE＝∠AFH＋∠GFE＝90°

∴∠GEF＝∠AFH

在△FGE和△AHF中

∵∠GEF＝∠AFH，∠EGF＝∠FHA＝90°

∴△FGE∽△AHF

∴＝

∴＝

∴AH=5GF

在Rt△AHF中，∠AHF＝90°

∵AH2＋FH2=AF2

∴（5 GF）2＋（5 －GF）2=52

∴GF＝

∴△EFC的面積為××2＝ ;

（3）解：①當(dāng)∠EFC=90°時(shí)，A、F、C共線，如圖所示:

設(shè)DE=EF=x,則CE=3-x,

∵AC=,∴CF=-x, ∵∠CFE=∠D=90°, ∠DCA=∠DCA, ∴△CEF∽△CAD, ∴,即，解得:ED=x=;

②當(dāng)∠ECF=90°時(shí),如圖所示:

∵AD==5,AB=3, ∴==4, 設(shè)=x,則=3-x,∵∠DCB=∠ABC=90°,

∴∽,∴,即，解得:x==;

由折疊可得 : ,設(shè)，則，,

在RT△中，

∵,即9+x=(x+3),解得x==12, ∴;

③當(dāng)∠CEF=90°時(shí)，AD=AF,此時(shí)四邊形AFED是正方形，∴AF=AD=DE=5,

綜上所述，DE的長(zhǎng)為:、5、15、.