Question

【題目】如圖，拋物線經過點A（1,0），B（4,0）與軸交于點C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖①，在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得四邊形PAOC的周長最小？若存在，求出四邊形PAOC周長的最小值；若不存在，請說明理由．

（3）如圖②，點Q是線段OB上一動點，連接BC，在線段BC上是否存在這樣的點M，使△CQM為等腰三角形且△BQM為直角三角形？若存在，求M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）9；（3）存在點M的坐標為（）或（）使△CQM為等腰三角形且△BQM為直角三角形

【解析】

(1)根據拋物線經過A、B兩點，帶入解析式，即可求得a、b的值.

（2）根據PA=PB，要求四邊形PAOC的周長最小，只要P、B、C三點在同一直線上，因此很容易計算出最小周長.

（3）首先根據△BQM為直角三角形，便可分為兩種情況QM⊥BC和QM⊥BO，再結合△QBM∽△CBO，根據相似比例便可求解.

解：（1）將點A（1,0），B（4,0）代入拋物線中，得：

解得：

所以拋物線的解析式為.

（2）由（1）可知，拋物線的對稱軸為直線.連接BC，交拋物線的對稱軸為點P,此時四邊形PAOC的周長最小，最小值為OA+OC+BC=1+3+5=9.

(3) 當QM⊥BC時，易證△QBM∽△CBO 所以 ,

又因為△CQM為等腰三角形 ，所以QM=CM.設CM=x, 則BM=5- x

所以 所以.所以QM=CM=，BM=5- x=,所以BM:CM=4:3.

過點M作NM⊥OB于N，則MN//OC, 所以 ,

即 ，所以,

所以點M的坐標為（）

當QM⊥BO時, 則MQ//OC, 所以 , 即

設QM=3t, 則BQ=4t, 又因為△CQM為等腰三角形 ，所以QM=CM=3t,BM=5-3t

又因為QM2+QB2=BM2, 所以(3t )2+(4t )2=(5-3t )2, 解得

MQ=3t=,, 所以點M的坐標為（）.

綜上所述，存在點M的坐標為（）或（）使△CQM為等腰三角形且△BQM為直角三角形