Question

如圖，在平面直角坐標系中，O為原點，每個小方格的邊長為1個單位長度．正方形ABCD頂點都在格點上，其中點A的坐標為（1，1）．若將正方形ABCD繞點A順時針方向旋轉90°，點B到達點B₁，點C到達點C₁，點D到達點D₁，若線段AC₁的長度與點D₁的橫坐標的差恰好是一元二次方程x²+ax+1=0的一個根，則a的值為

-2

10

．

Answer 1

分析：首先根據題意，作出旋轉后的圖形，由A的坐標為（1，1）可知一格代表單位1，求出AC的長，即AC1的長，由圖象可以寫出D₁的橫坐標，根據線段AC₁的長度與點D₁的橫坐標的差恰好是一元二次方程x²+ax+1=0的一個根，作差代入，求出a的值．

解答：解：由題意作圖如右：
∵A的坐標為（1，1），
∴D（0，3），C（2，4），D₁（3，2），
根據旋轉的性質知AC=AC1=

(4-1)2+(2-1)2

 =

10

，
∵D₁（3，2），
∴D₁橫坐標為x=3，
∴線段AC₁的長度與點D₁的橫坐標的差為

10

-3；
∵

10

-3是一元二次方程x²+ax+1=0的一個根，
∴(

10

-3)2+（

10

-3）a+1=0，
整理得a=-2

10

．
故答案為-2

10

．

點評：本題主要考查幾何變換綜合題的知識，解答本題的關鍵是熟練掌握旋轉的性質及數形結合進行解題的思路，此題難度不大．