Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，正方形OABC的頂點O與坐標原點重合，點C的坐標為（0，3），點A在x軸的負半軸上，點D、M分別在邊AB、OA上，且AD=2DB，AM=2MO，一次函數y=kx+b的圖象過點D和M，反比例函數y= 的圖象經過點D，與BC的交點為N．

（1）求反比例函數和一次函數的表達式；
（2）若點P在直線DM上，且使△OPM的面積與四邊形OMNC的面積相等，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵正方形OABC的頂點C（0，3），

∴OA=AB=BC=OC=3，∠OAB=∠B=∠BCO=90°，

∵AD=2DB，

∴AD= AB=2，

∴D（﹣3，2），

把D坐標代入y= 得：m=﹣6，

∴反比例解析式為y=﹣ ，

∵AM=2MO，

∴MO= OA=1，即M（﹣1，0），

把M與D坐標代入y=kx+b中得： ，

解得：k=b=﹣1，

則直線DM解析式為y=﹣x﹣1；

（2）

解：把y=3代入y=﹣ 得：x=﹣2，

∴N（﹣2，3），即NC=2，

設P（x，y），

∵△OPM的面積與四邊形OMNC的面積相等，

∴ （OM+NC）OC= OM|y|，即|y|=9，

解得：y=±9，

當y=9時，x=﹣10，當y=﹣9時，x=8，

則P坐標為（﹣10，9）或（8，﹣9）

【解析】（1）由正方形OABC的頂點C坐標，確定出邊長，及四個角為直角，根據AD=2DB，求出AD的長，確定出D坐標，代入反比例解析式求出m的值，再由AM=2MO，確定出MO的長，即M坐標，將M與D坐標代入一次函數解析式求出k與b的值，即可確定出一次函數解析式；（2）把y=3代入反比例解析式求出x的值，確定出N坐標，得到NC的長，設P（x，y），根據△OPM的面積與四邊形OMNC的面積相等，求出y的值，進而得到x的值，確定出P坐標即可．此題考查了一次函數與反比例函數的交點問題，涉及的知識有：待定系數法確定一次函數、反比例函數解析式，坐標與圖形性質，正方形的性質，以及三角形面積計算，熟練掌握待定系數法是解本題的關鍵．
【考點精析】利用正方形的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．