Question

【題目】如圖1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，四邊形ADEF是正方形，點B，C分別在AD，AF上，此時BD=CF，BD⊥CF成立．

（1）當△ABC繞點A逆時針旋轉θ（0°＜θ＜90°）時，如圖2，BD=CF成立嗎？若成立，請證明，若不成立，請說明理由；

（2）當△ABC繞點A逆時針旋轉45°時，如圖3，延長DB交AF，CF于點N，H．
①求證：BD⊥CF；
②當AB=2，AD=3 時，求線段AN的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：BD=CF．

理由如下：如圖2中，由題意得，∠CAF=∠BAD=θ，

在△CAF和△BAD中，

，

∴△CAF≌△BAD，

∴BD=CF

（2）解：①由（1）得△CAF≌△BAD，

∴∠CFA=∠BDA，

∵∠FNH=∠DNA，∠DNA+∠NDA=90°，

∴∠CFA+∠FNH=90°，

∴∠FHN=90°，即BD⊥CF；

②如圖3中，作BM⊥AD于M，

在Rt△AMB中，∵∠BAM=45°，AB=2，

∴AM=BM= ，DM=3 ﹣ =2 ，

BM∥AN，

∴ = ，

∴ = ，

∴AN=

【解析】（1）根據旋轉變換的性質易證明△CAF≌△BAD，即可求證結論。
（2）①根據全等三角形的性質、△CAF≌△BAD，得出∠CFA=∠BDA，再證明∠FHN=90°，根據垂直的定義證明即可；
②作BM⊥AD于M，在Rt△AMB中，由∠BAM=45°，AB=2，推出AM=BM，求得DM、BM的長。再根據平行線分線段成比例得出比例式，建立方程即可求得AN的值。
【考點精析】通過靈活運用垂線的性質和平行線分線段成比例，掌握垂線的性質：1、過一點有且只有一條直線與己知直線垂直．2、垂線段最短；三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例即可以解答此題．