Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的點，且OE⊥AC于點E，過點C作⊙O的切線，交OE的延長線于點D，交AB的延長線于點F，連接AD
（1）求證：AD是⊙O的切線；
（2）若tan∠F= ，⊙O半徑為1，求線段AD的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接OC．

∵OE⊥AC，

∴AE=CE，

∴DC=DA，

在△OCD與△OAD中， ，

∴△OCD≌△OAD，

∵FD切⊙O于D，

∴∠OCD=∠OAD=90°，

∴AD是⊙O的切線

（2）解：設AD=x，

∵tan∠F= ，OC=1，

∴在Rt△OCF中， = ，

∴FC=2，

在Rt△ADF中，同理可得，FO=2x﹣1，

∴在Rt△OCF中，

FO2=FC2+CO2，

∴（2x﹣1）2=5，解得x1= ，x2= （舍去），

即 AD= ．

【解析】（1）連接OC．根據垂徑定理得到AE=CE，根據全等三角形和切線的性質得到∠OCD=∠OAD=90°，于是得到結論；（2）設AD=x，根據三角函數的定義得到FC=2，在Rt△ADF中，同理可得，FO=2x﹣1，根據勾股定理即可得到結論．
【考點精析】利用垂徑定理和解直角三角形對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；解直角三角形的依據：①邊的關系a2+b2=c2；②角的關系：A+B=90°；③邊角關系：三角函數的定義．(注意：盡量避免使用中間數據和除法)．