Question

【題目】如圖（1），在Rt△ABC，∠ACB＝90°，分別以AB、BC為一邊向外作正方形ABFG、BCED，連結AD、CF，AD與CF交于點M．

（1）求證：△ABD≌△FBC；

（2）如圖（2），求證：AM2+MF2＝AF2．

Answer 1

【答案】（1）證明見詳解；（2）證明見詳解

【解析】

（1）根據四邊形ABFG、BCED是正方形得到兩對邊相等，一對直角相等，根據圖形利用等式的性質得到一對角相等，利用SAS即可得到三角形全等；
（2）根據全等三角形的性質和勾股定理即可得到結論．

解：（1）∵四邊形ABFG、BCED是正方形，
∴AB=FB，CB=DB，∠ABF=∠CBD=90°，
∴∠ABF+∠ABC=∠CBD+∠ABC，
即∠ABD=∠CBF，
在△ABD和△FBC中，

，
∴△ABD≌△FBC（SAS）；
（2）∵△ABD≌△FBC，
∴∠BAD=∠BFC，
∴∠AMF=180°-∠BAD-∠CNA=180°-（∠BFC+∠BNF）=180°-90°=90°，
∴AM2+MF2=AF2．