Question

【題目】如圖1，將兩個完全相同的三角形紙片和重合放置，其中，．

（1）操作發現

如圖2，固定，使繞點旋轉，當點恰好落在邊上時，填空：

①線段與的位置關系是______；

②設的面積為，的面積為，則與的數量關系是______

（2）猜想論證

當繞點旋轉到如圖3所示的位置時，小明猜想1．中與的數量關系仍然成立，并嘗試分別作出了和中、邊上的高，請你證明小明的猜想．

（3）拓展探究

已知∠ABC=60°，點是角平分線上一點，，交于點(如圖4)．若在射線上存在點，使，請求出相應的的長．

Answer 1

【答案】（1）操作發現：①DE∥AC；②=；（2）猜想論證：=仍然成立，證明見解析；（3）拓展探究：=或

【解析】

（1）操作發現：①根據直角三角形的性質即可求出∠EDC，然后證出△CAD為等邊三角形可得∠DCA=60°，從而得出∠EDC=∠DCA，然后根據平行線的判定即可得出結論；

②根據平行線之間的距離處處相等和同底等高可得S△DAC=，然后根據30°所對的直角邊是斜邊的一半和等邊三角形的性質可得點D為AB的中點，從而證出S△DAC=，即可得出結論；

（2）猜想論證：利用AAS證出△ACN≌△DCM，即可得出AN=DM，然后根據旋轉的性質可得EC=BC，然后根據兩個三角形等底等高即可得出結論；

（3）拓展探究：延長CD交AB于點H，過點E作EG⊥BD于G，利用30°所對的直角邊是斜邊的一半和勾股定理分別求出BH和GE，然后根據點F的位置分類討論，根據兩個三角形的面積相等、底相等那么高也相等即可求出FH，從而分別求出BF的長

解：（1）操作發現：①DE∥AC，理由如下：

∵，．

∴∠BAC=90°－∠B=60°，∠EDC=90°－∠DEC=60°

∵點恰好落在邊上時，

∴CA=CD

∴△CAD為等邊三角形

∴∠DCA=60°

∴∠EDC=∠DCA

∴DE∥AC

故答案為：DE∥AC．

②=，理由如下

∵DE∥AC

根據平行線之間的距離處處相等

∴S△DAC=

在Rt△ABC中，∠B=30°

∴AB=2AC

∵△CAD為等邊三角形

∴AC=AD

∴AB=2AD

∴點D為AB的中點

∴S△DAC=

∴=

故答案為：=．

（2）猜想論證：=仍然成立，證明如下

∵AN、DM分別是△ACE、△BCD邊上的高

∴∠ANC=∠DMC=90°

∵∠ACN＋∠NCB=90°，∠DCM＋∠NCB=90°

∴∠ACN=∠DCM

在△ACN和△DCM中

∴△ACN≌△DCM

∴AN=DM

∵EC=BC

∴△ACE和△BCD等底等高

∴=

（3）拓展探究：延長CD交AB于點H，過點E作EG⊥BD于G，

∵∠ABC=60°，點是角平分線上一點，，

∴∠HBD=∠CBD=∠ABC=30°

∵

∴∠DCB=∠DBC=30°

∴∠BHC=180°－∠HBC－∠DCB=90°

在Rt△BDH中，HD=，BH=

∵

∴∠EDB=∠HBD=30°

∴∠EBD=∠EDB

∴EB=ED

∴BG==2

在Rt△BEG中，設GE=x，BE=2GE=2x

根據勾股定理可得：GE2＋BG2=BE2

即x 2＋22=（2x）2

解得：x=

∴GE=

（i）當點F在線段BH上時，

∵，

∴FH=GE=

∴BF=BH－FH=；

（ii）當在線段BH的延長線上時

同理可得H= GE=

∴B=BH＋H=

綜上所述：=或