Question

【題目】如圖，為的切線，為切點，是過點的割線，于點，若，，求的面積．

Answer 1

【答案】的面積為.

【解析】

連接AC，由弦切角定理知∠PCA=∠B，易證得△PCA∽△PBC，得PC：PB=AC：AB，而AC：AB正好是tanB，由此可求出PB的長，進而可由切割線定理求出PA的長，也就得到了AB的長；在Rt△ACB中，易證得∠ACD=∠B，那么tanB=tan∠ACD，由此可得CD=2AD，BD=2CD，即BD=4AD，聯立AD+BD=AB（AB的長已求得），即可得到AD、BD、CD的長，進而可由三角形的面積公式求出△BCD的面積．

解法一：連接，

∵是的直徑，點在上，

∴

∵于點，

∴，

．

∵，

∴，

∴．

設，則，，．

∵切于點，點在上，

∴，

∵，

∴．

∴．

∵，

∴，

∵切于點，是的割線，

∴根據切割線定理：，

∴，

解得，

∴，，．

∴，

即的面積為，

解法二：同解法一，由得，

∵，

∴，

由切割線定理，得，

∴，

∴，

∵，

解得；（同證法一）

∴，，

．

即的面積為．