Question

【題目】如圖1，已知直線y=x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，將直線在x軸下方的部分沿x軸翻折，得到一個新函數的圖象（圖中的“V形折線”）．

（1）類比研究函數圖象的方法，請列舉新函數的兩條性質，并求新函數的解析式；

（2）如圖2，雙曲線y=與新函數的圖象交于點C（1，a），點D是線段AC上一動點（不包括端點），過點D作x軸的平行線，與新函數圖象交于另一點E，與雙曲線交于點P．

①試求△PAD的面積的最大值；

②探索：在點D運動的過程中，四邊形PAEC能否為平行四邊形？若能，求出此時點D的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①函數的最小值為0；②函數圖象的對稱軸為直線x=-3；新函數的解析式為y= ；（2）△PAD的面積的最大值為；②在點D運動的過程中，四邊形PAEC不能為平行四邊形．理由見解析.

【解析】（1）根據一次函數的性質，結合函數圖象可寫出新函數的兩條性質；求新函數的解析式，可分兩種情況進行討論：①x≥-3時，顯然y=x+3；②當x＜-3時，利用待定系數法求解；

（2）①先把點C（1，a）代入y=x+3，求出C（1，4），再利用待定系數法求出反比例函數解析式為y=．由點D是線段AC上一動點（不包括端點），可設點D的坐標為（m，m+3），且-3＜m＜1，那么P（，m+3），PD=-m，再根據三角形的面積公式得出△PAD的面積為S=（-m）×（m+3）=-m2-m+2=-（m+）2+，然后利用二次函數的性質即可求解；

②先利用中點坐標公式求出AC的中點D的坐標，再計算DP，DE的長度，如果DP=DE，那么根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形可得四邊形PAEC為平行四邊形；如果DP≠DE，那么不是平行四邊形．

試題解析：（1）如圖1，均是正整數新函數的兩條性質：①函數的最小值為0；

②函數圖象的對稱軸為直線x=-3；

由題意得A點坐標為（-3，0）．分兩種情況：

①x≥-3時，顯然y=x+3；

②當x＜-3時，設其解析式為y=kx+b．

在直線y=x+3中，當x=-4時，y=-1，

則點（-4，-1）關于x軸的對稱點為（-4，1）．

把（-4，1），（-3，0）代入y=kx+b，

得

解得

∴y=-x-3．

綜上所述，新函數的解析式為y= ；

（2）如圖2，

①∵點C（1，a）在直線y=x+3上，

∴a=1+3=4．

∵點C（1，4）在雙曲線y=上，

∴k=1×4=4，y=．

∵點D是線段AC上一動點（不包括端點），

∴可設點D的坐標為（m，m+3），且-3＜m＜1．

∵DP∥x軸，且點P在雙曲線上，

∴P（，m+3），

∴PD=-m，

∴△PAD的面積為

S=（-m）×（m+3）=-m2-m+2=-（m+）2+，

∵a=-＜0，

∴當m=-時，S有最大值，為，

又∵-3＜-＜1，

∴△PAD的面積的最大值為；

②在點D運動的過程中，四邊形PAEC不能為平行四邊形．理由如下：

當點D為AC的中點時，其坐標為（-1，2），此時P點的坐標為（2，2），E點的坐標為（-5，2），

∵DP=3，DE=4，

∴EP與AC不能互相平分，

∴四邊形PAEC不能為平行四邊形．