Question

【題目】在Rt中，AB=BC=4，，將一直角三角板的直角頂點放在斜邊AC的中點P處，將三角板繞點P旋轉，三角板的兩直角邊分別與邊AB、BC或其延長線上交于D、E兩點（假設三角板的兩直角邊足夠長），如圖（1）、圖（2）表示三角板旋轉過程中的兩種情形.

（1）直角三角板繞點P旋轉過程中，當______時，是等腰三角形；

（2）直角三角板繞點P旋轉到圖（1）的情形時，求證：PD=PE；

（3）如圖（3），若將直角三角板的頂點放在斜邊AC的點M處，設(、為正數)，求證：.

Answer 1

【答案】（1）0，2，或；（2）見解析；（3）見解析

【解析】

（1）根據△PEC是等腰三角形，分類進行討論即可；

（2）連接BP，首先根據題干條件證明出∠BPD＝∠CPE，然后證明△DPB≌△EPC，于是證明出PD＝PE；

（3）過M分別作AB、BC的垂線，垂足分別為G、H，首先根據角之間的關系求出∠GMD＝∠HME，進而證明出△MGD∽△MHE，根據相似三角形對應邊成比例，得到，再求出GM、HM關于m、n的表達式，三式結合求出MD、ME之間的比例關系．

解：（1）當BE＝0時，即點B和點E重合，故可知△PEC是等腰三角形，

當BE＝2時，即E是BC的中點，可得△PEC是等腰三角形

由題干條件知PC＝，當CP＝CE時△PEC是等腰三角形，BE＝4；

當E在BC的延長線上時，CE＝CP，△PEC是等腰三角形，BE＝4＋；

故答案為：0或2或4或4＋；

（2）連接BP．

∵AB＝BC 且∠ABC＝90°，

∴∠C＝45°，

又∵P是AC中點，

∴BP⊥AC，BP＝PC 且∠ABP＝∠CBP＝45°，

∴∠CPE＋∠EPB＝90°，

∵DP⊥PE，

∴∠BPD＋∠EPB＝90°，

∴∠BPD＝∠CPE，

在△DPB和△EPC中，，

∴△DPB≌△EPC，

∴PD＝PE；

（3）過M分別作AB、BC的垂線，垂足分別為G、H．

由作圖知，∠MGA＝∠MGB＝∠MHB＝∠MHE＝90°

又∵∠B＝90°，

∴∠GMH＝90°，

∴∠GMD＋∠DMH＝90°，

∵∠DMH＋∠HME＝90°，

∴∠GMD＝∠HME

∴△MGD∽△MHE，

∴①，

∵，

∴，

∵∠MGA＝∠B＝90°，

∴GM∥BC，

∴，即GM＝BC②

同理 HM＝AB，

∵AB＝BC，

∴HM＝BC③

②③代入①得：．