Question

【題目】如圖，已知直線l與⊙O相離，OA⊥l于點A，OA=5,OA與⊙O相交于點P，AB與⊙O相切于點B， BP的延長線交直線l于點C.

(1)試判斷線段AB與AC的數量關系，并說明理由；

(2)若PC=，求⊙O的半徑和線段PB的長；

(3)若在⊙O上存在點Q，使△QAC是以AC為底邊的等腰三角形，求⊙O的半徑r的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）AB=AC；理由見解析（2）⊙O的半徑為3，線段PB的長為；（3）≤r＜5．

【解析】試題分析：（1）連接OB，根據切線的性質和垂直得出∠OBA=∠OAC=90°，推出∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠CPA=90°，求出∠ACP=∠ABC，根據等腰三角形的判定推出即可；

（2）延長AP交⊙O于D，連接BD，設圓半徑為r，則OP=OB=r，PA=5-r，根據AB=AC推出52-r2=（2）2-（5-r）2，求出r，證△DPB∽△CPA，得出，代入求出即可；

（3）根據已知得出Q在AC的垂直平分線上，作出線段AC的垂直平分線MN，作OE⊥MN，求出OE＜r，求出r范圍，再根據相離得出r＜5，即可得出答案．

試題解析：（1）AB=AC，理由如下：

連接OB．

∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，

∴∠OBA=∠OAC=90°，

∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠APC=90°，

∵OP=OB，

∴∠OBP=∠OPB，

∵∠OPB=∠APC，

∴∠ACP=∠ABC，

∴AB=AC；

（2）延長AP交⊙O于D，連接BD，

設圓半徑為r，則OP=OB=r，PA=5-r，

則AB2=OA2-OB2=52-r2，

AC2=PC2-PA2=（2）2-（5-r）2，

∴52-r2=（2）2-（5-r）2，

解得：r=3，

∴AB=AC=4，

∵PD是直徑，

∴∠PBD=90°=∠PAC，

又∵∠DPB=∠CPA，

∴△DPB∽△CPA，

∴，

∴，

解得：PB=．

∴⊙O的半徑為3，線段PB的長為；

（3）作出線段AC的垂直平分線MN，作OE⊥MN，則可以推出OE=AC=AB=

又∵圓O與直線MN有交點，

∴OE=≤r，

，

25-r2≤4r2，

r2≥5，

∴r≥，

又∵圓O與直線相離，

∴r＜5，

即≤r＜5．