Question

如圖，以等邊△OAB的邊OB所在直線為x軸，點O為坐標原點，使點A在第一象限建立平面直角坐標系，其中△OAB邊長為4個單位，點P從O點出發沿折線OAB向B點以2個單位/秒的速度向終點B點運動，點Q從B點出發以1個單位/秒的速度向終點O點運動，兩個點同時出發，運動時間為t（秒）．
（1）請用t表示點P的坐標

（t，

3

t）或（t，4

3

-

3

t）

和點Q的坐標

（4-t，0）

，其中t的取值范圍是

0≤t≤2或2＜t≤4

；
（2）當t=

4

5

時，PQ⊥OA；當t=

16

5

時，PQ⊥AB；當t=

2

時，PQ⊥OB；
（3）△OPQ面積為S，求S關于t的函數關系式并指出S的最大值；
（4）若直線PQ將△OAB分成面積比為3：5兩部分？求此時直線PQ的解析式；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）當P在OA上，即0≤t≤2；當P在AB上，即2＜t≤4，分別過P作x軸的垂線，利用含30°的直角三角形三邊的關系即可得到P點坐標；
（2）當PQ⊥AB，即∠OQP=30°，利用含30°的直角三角形三邊的關系得到OQ=2OP，即4-t=2•2t；當PQ⊥AB，同理得到BQ=2PB，即t=2（8-2t）；當PQ⊥OB，由（1）得P點和Q點的橫坐標總是相等的，得到OQ=BQ，即4-t=t；分別解出t的值即可；
（3）分類討論：當0≤t≤2時，S=

1

2

•（4-t）•

3

t=-

3

2

t²+2

3

t；當2＜t≤4時，S=

1

2

•（4

3

-

3

t）•（4-t）=

3

2

（t-4）²，然后根據二次函數的最值問題即可得到S的最大值；
（4）討論：①當P在OA、Q在OB上，即0≤t≤2時，若S_△OPQ=

3

8

S_△AOB；若S_△OPQ=

5

8

S_△AOB，分別建立方程，解方程求出t的值，確定P與Q的坐標，然后利用待定系數法求直線PQ的解析式；②同樣的方法去求當P在AB、Q在OB上，即2＜t≤4時，P與Q的坐標．

解答：解：（1）如圖1，當P在OA上，即0≤t≤2時，過點P作PD⊥x軸，
∵OP=2t，△AOB是等邊三角形，
∴OD=OP•cos∠AOB=2t•

1

2

=t，PD=OP•sin60°=2t•

3

2

=

3

t，
∴P（t，

3

t）；
當P在AB上，即2＜t≤4時，過點P作PE⊥x軸，
∵OA+AB=8，
∴BP=8-2t，
∴BE=

8-2t

2

=4-t，PE=4

3

-

3

t，
∴P（t，4

3

-

3

t）；
∵OB=4，
∴OE=4-t，
∴Q（4-t，0），
故答案為：（t，

3

t）或（t，4

3

-

3

t），（4-t，0），0≤t≤2或2＜t≤4；

（2）如圖2，當PQ⊥AO時，
∵∠AOB=60°，
∴∠OQP=30°，
∵OP=2t，OQ=4-t，
∴OQ=2OP，即4-t=2•2t，解得t=

4

5

；
如圖3，當PQ⊥AB，
∵∠ABO=60°，
∴∠PQB=30°，
∵BP=8-2t，BQ=t，
∴BQ=2PB，即t=2（8-2t），解得t=

16

5

；
如圖4，當PQ⊥OB，
由（1）得P點和Q點的橫坐標總是相等的，
∴OQ=BQ，即4-t=t，解得t=2；
故答案為：

4

5

；

16

5

；2；

（3）①∵當0≤t≤2時，S=

1

2

•（4-t）•

3

t=-

3

2

t²+2

3

t，
∴當t=-

2 3

2•(- 3 2 )

=2時，S有最大值，其最大值=

0-(2 3 )2

4•(- 3 2 )

=2

3

；
②當2＜t≤4時，S=

1

2

•（4

3

-

3

t）•（4-t）=

3

2

（t-4）²，
∴在2＜t≤4范圍內，S隨t的增大而減小，并且當t=2時，S的最大值為2

3

，
∴2＜t≤4時，S＜2

3

；
綜上所述，當t=2時，S有最大值2

3

；

（4）如圖4，∵AQ=OAsin60°=4×

3

2

=2

3

，
∴S_△AOB=

1

2

OB•AQ=

1

2

×4×2

3

=4

3

，
①當P在OA、Q在OB上，即0≤t≤2時，
∵S_△OPQ=

3

8

S_△AOB，
∴-

3

2

t2+2

3

=

3 3

2

，
解得t=1或3（舍去），
此時P點坐標為（1，

3

）、Q點坐標為（3，0），
設直線PQ的解析式為：y=kx+b，
則

k+b= 3 3k+b=0

，
解得

k=- 3 2 b= 3 3 2

，
y=-

3

2

x+

3 3

2

；
若S_△OPQ=

5

8

S_△AOB，所列方程無解；
②當P在AB、Q在OB上，即2＜t≤4時，S_△PQB=-

3

2

t²+2

3

t，
當S_△PQB=

3

8

S_△AOB時，即=-

3

2

t²+2

3

t=

3

8

×4

3

，
解得t=3，
此時P為（3，

3

）、Q為（1，0），
設過點PQ的直線解析式為y=kx+b，即

3k+b= 3 k+b=0

，
解得

k= 3 2 b=- 3 2

故直線PQ的解析式為：y=

3

2

x-

3

2

；
當S_△PQB=

5

8

S_△AOB時，即-

3

2

t²+2

3

t=

5

8

×4

3

時，此方程無解．

點評：本題考查的是相似形綜合題，此題涉及到等邊三角形的性質、三角形的面積公式、銳角三角函數的定義及用待定系數法求一次函數的解析式，涉及面較廣，難度較大．