Question

如圖，以等邊△OAB的邊OB所在直線為x軸，點O為坐標原點，使點A在第一象限建立平面直角坐標系，其中△OAB邊長為6個單位，點P從O點出發沿折線OAB向B點以3單位/秒的速度向B點運動，點Q從O點出發以2單位/秒的速度沿折線OBA向A點運動，兩點同時出發，運動時間為t（單位：秒），當兩點相遇時運動停止．

（1）點A坐標為

 

，P、Q兩點相遇時交點的坐標為

 

；
（2）當t=2時，S_△OPQ=

 

；當t=3時，S_△OPQ=

 

；
（3）設△OPQ的面積為S，試求S關于t的函數關系式；
（4）當△OPQ的面積最大時，試求在y軸上能否找一點M，使得以M、P、Q為頂點的三角形是Rt△？若能找到請求出M點的坐標，若不能找到請簡單說明理由．

Answer 1

分析：（1）過A作AC⊥x軸于C，通過解直角三角形，易求得A點坐標；當P、Q相交時，兩點的運動的距離總和為△OAB的周長，然后過交點作x軸的垂線，同上可求得此交點的坐標．
（2）當t=2時，P、A重合，Q在線段OB上，以OB為底、A點縱坐標為高可求得△OPQ的面積；
當t=3時，Q、B重合時，P在線段AB上，易得BP的長，BP•sin60°即為△OPQ的高，底邊OB的長為△OAB的邊長，由此可得到△OPQ的面積．
（3）此題應分三種情況討論：
①當0≤t≤2時，點P在線段OA上，點Q在線段OB上，易求得OQ、OP的長，以OQ為底，OP•sin60°為高即可得到S、t的函數關系式；
②當2＜t≤3時，點P在線段AB上，點Q在線段OB上，解法同①；
③3＜t≤

18

5

時，點P、Q都在線段AB上，可由△OPB、△OQB的面積差得到△OPQ的面積，從而求得S、t的函數關系式．
（4）講過計算可知當S最大時，P、A重合；然后分三種情況討論：
①以P為直角頂點，即PM⊥PQ，可過P作PC⊥x軸于C，過M作PC的垂線，通過Rt△PMN∽△QPC，求得PN、OM的長，進而可得到M點的坐標；
②以Q為直角頂點，解法同①；
③取PQ的中點D，以D為圓心，PQ為直徑作圓，過P、D作y軸的垂線，設垂足為E、F；易求得PE、OQ的長，根據梯形中位線定理即可求得DF的長，然后同⊙D的半徑進行比較，發現⊙D的半徑要小于DF的長，即⊙D與y軸相離，故此種情況不成立．

解答：解：（1）過A作AC⊥x軸于C，在Rt△OAC中，OA=6，∠AOC=60°，則OC=3，AC=3

3

，
由此可得A（3，3

3

）；
當P、Q相遇時，3t+2t=18，即t=

18

5

；
此時P、Q都在線段AB上，且QB=2×

18

5

-6=

6

5

，同上可求得此交點坐標為（

27

5

，

3

5

3

）；
故：A點坐標為(3，3

3

)、交點坐標為(

27

5

，

3

5

3

)．

（2）當t=2時，P、A重合，S_△OPQ=

1

2

×4×3

3

=6

3

；
當t=3時，Q、B重合，此時PB=12-3×3=3，△OPQ的高為：PB•sin60°=

3 3

2

，
∴S_△OPQ=

1

2

×6×

3 3

2

=

9

2

3

；
故當t=2時，S_△OPQ=6

3

；當t=3時，S_△OPQ=

9

2

3

．

（3）①當0≤t≤2時，P在線段OA上，Q在線段OB上；
S=

1

2

OQ•OPsin60°=

1

2

×3t×2t×

3

2

=

3 3

2

t2；
②當2＜t≤3時，P在線段AB上，Q在線段OB上；
設OQ邊上的高為h，

h

3 3

=

12-3t

6

，解得h=6

3

-

3 3

2

t，
S=

1

2

OQ•h=

1

2

×2t×（6

3

-

3 3

2

t）=-

3 3

2

t²+6

3

t；
③當3＜t≤

18

5

時，P、Q都在線段AB上，
PQ=6-（3t-6）-（2t-6）=18-5t，
S=

1

2

×3

3

×（18-5t）=-

15

2

3

t+27

3

；
故：S=

3 3 2 t2  (0≤t≤2) - 3 3 2 t2+6 3 t (2＜t≤3) - 15 3 2 t+27 3 (3＜t≤ 18 5 )

．

（4）對（3）中的分段函數進行計算后得知當t=2，S有最大值，
此時P與A重合，OP=6，OQ=4，過P作PC⊥OB于C點，計算得OC=3，AC=3

3

，CQ=1，PQ=2

7

①如圖①，過P作PM⊥PQ交y軸于M點，過M作MN⊥AC于N，則MN=OC=3，易得Rt△PMN∽△QPC，
有

MN

PC

=

PN

CQ

即

3

3 3

=

PN

1

，得PN=

3

3

，MO=NC=

8

3

3

故M點坐標為(0，

8

3

3

)．
②如圖②，過Q作MQ⊥PQ交y軸于M點，通過△MOQ∽△QCP，求得M坐標為(0，-

4

9

3

)．
③如圖③，以PQ為直徑作⊙D，則⊙D半徑r為

7

，再過P作PE⊥y軸于E點，過D作DF⊥y軸于F點，
由梯形中位線求得DF=

7

2

，顯然r＜DF，故⊙D與y無交點，那么此時在y軸上無M點使得△MPQ為直角三角形．
綜上所述，滿足要求的M點(0，

8

3

3

)或(0，-

4

9

3

)．

點評：此題考查了等邊三角形的性質、相似三角形的判定和性質、圖形面積的求法以及二次函數最值的應用、直角三角形的判定等知識，同時還涉及到分類討論的數學思想，難度較大．