Question

【題目】在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=10，點D是射線CB上的一個動點，△ADE是等邊三角形，點F是AB的中點，連接EF．

（1）如圖，點D在線段CB上時，

①求證：△AEF≌△ADC；

②連接BE，設線段CD=x，BE=y，求y2﹣x2的值；

（2）當∠DAB=15°時，求△ADE的面積．

Answer 1

【答案】（1）①證明見解析；②25；（2）為或50+75．．

【解析】

試題(1)、①在直角三角形ABC中，由30°所對的直角邊等于斜邊的一半求出AC的長，再由F為AB中點，得到AC=AF=5，確定出三角形ADE為等邊三角形，利用等式的性質得到一對角相等，再由AD=AE，利用SAS即可得證；②由全等三角形對應角相等得到∠AEF為直角，EF=CD=x，在三角形AEF中，利用勾股定理即可列出y關于x的函數解析式；(2)、分兩種情況考慮：①當點在線段CB上時；②當點在線段CB的延長線上時，分別求出三角形ADE面積即可．

試題解析：(1)、①證明：在Rt△ABC中，∵∠B=30°，AB=10，

∴∠CAB=60°，AC=AB=5，　∵點F是AB的中點，　∴AF=AB=5，

∴AC=AF，　∵△ADE是等邊三角形，　∴AD=AE，∠EAD=60°， ∵∠CAB=∠EAD，

即∠CAD+∠DAB=∠FAE+∠DAB，　∴∠CAD=∠FAE， ∴△AEF≌△ADC（SAS）；

②∵△AEF≌△ADC，∴∠AEF=∠C=90°，EF=CD=x，又∵點F是AB的中點，

∴AE=BE=y，　在Rt△AEF中，勾股定理可得：y2=25+x2，　∴y2﹣x2=25

（2）①當點在線段CB上時， 由∠DAB=15°，可得∠CAD=45°，△ADC是等腰直角三角形，

∴AD2=50， △ADE的面積為；

②當點在線段CB的延長線上時， 由∠DAB=15°，可得∠ADB=15°，BD=BA=10，

∴在Rt△ACD中，勾股定理可得AD2=200+100， △ADE的面積為50 +75，

綜上所述，△ADE的面積為或50 +75．