Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，E是AB邊的中點(diǎn)，沿EC對折矩形ABCD，使B點(diǎn)落在點(diǎn)P處，折痕為EC，連結(jié)AP并延長AP交CD于F點(diǎn)，連結(jié)CP并延長CP交AD于Q點(diǎn)．給出以下結(jié)論：

①四邊形AECF為平行四邊形；

②∠PBA=∠APQ；

③△FPC為等腰三角形；

④△APB≌△EPC．

其中正確結(jié)論的個數(shù)為（　　）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】B

【解析】①根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°易證∠PAB+∠PBA=90°，易證四邊形AECF是平行四邊形，即可解題；

②根據(jù)平角定義得：∠APQ+∠BPC=90°，由正方形可知每個內(nèi)角都是直角，再由同角的余角相等，即可解題；

③根據(jù)平行線和翻折的性質(zhì)得：∠FPC=∠PCE=∠BCE，∠FPC≠∠FCP，且∠PFC是鈍角，△FPC不一定為等腰三角形；

④當(dāng)BP=AD或△BPC是等邊三角形時，△APB≌△FDA，即可解題．

①如圖，EC，BP交于點(diǎn)G；

∵點(diǎn)P是點(diǎn)B關(guān)于直線EC的對稱點(diǎn)，

∴EC垂直平分BP，

∴EP=EB，

∴∠EBP=∠EPB，

∵點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，

∴AE=EB，

∴AE=EP，

∴∠PAB=∠PBA，

∵∠PAB+∠PBA+∠APB=180°，即∠PAB+∠PBA+∠APE+∠BPE=2（∠PAB+∠PBA）=180°，

∴∠PAB+∠PBA=90°，

∴AP⊥BP，

∴AF∥EC；

∵AE∥CF，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

故①正確；

②∵∠APB=90°，

∴∠APQ+∠BPC=90°，

由折疊得：BC=PC，

∴∠BPC=∠PBC，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABC=∠ABP+∠PBC=90°，

∴∠ABP=∠APQ，

故②正確；

③∵AF∥EC，

∴∠FPC=∠PCE=∠BCE，

∵∠PFC是鈍角，

當(dāng)△BPC是等邊三角形，即∠BCE=30°時，才有∠FPC=∠FCP，

如右圖，△PCF不一定是等腰三角形，

故③不正確；

④∵AF=EC，AD=BC=PC，∠ADF=∠EPC=90°，

∴Rt△EPC≌△FDA（HL），

∵∠ADF=∠APB=90°，∠FAD=∠ABP，

當(dāng)BP=AD或△BPC是等邊三角形時，△APB≌△FDA，

∴△APB≌△EPC，

故④不正確；

其中正確結(jié)論有①②，2個，

故選：B．