Question

已知：如圖，P是正方形ABCD內一點，在正方形ABCD外有一點E，滿足∠ABE=∠CBP，BE=BP．
（1）求證：△CPB≌△AEB；
（2）求證：PB⊥BE；
（3）若PA：PB=1：2，∠APB=135°，求cos∠PAE的值．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=AB，（1分）
∵∠CBP=∠ABE，BP=BE，
∴△CBP≌△ABE．

（2）證明：∵∠CBP=∠ABE，
∴∠PBE=∠ABE+∠ABP=∠CBP+∠ABP=90°，
∴PB⊥BE．
（1）、（2）兩小題可以一起證明．
證明：∵∠CBP=∠ABE，
∴∠PBE=∠ABE+∠ABP（1分）
=∠CBP+∠ABP
=90°（2分）
∴PB⊥BE．（3分）
以B為旋轉中心，把△CBP按順時針方向旋轉90°．（4分）
∵BC=AB，∠CBA=∠PBE=90°，BE=BP．（5分）
∴△CBP與△ABE重合，
∴△CBP≌△ABE．（6分）

（3）連接PE，
∵BE=BP，∠PBE=90°，
∴∠BPE=45°，（7分）
設AP為k，則BP=BE=2k，
∴PE²=8k²，（8分）
∴PE=2

2

k，
∵∠BPA=135°，∠BPE=45°，
∴∠APE=90°，（9分）
∴AE=3k，
在直角△APE中：cos∠PAE=

AP

AE

=

1

3

．（10分）