Question

如圖，在正方形ABCD外取一點E，連接AE，BE，DE．過點A作AE的垂線交ED于點P．若AE=AP=1，PB=

5

．則正方形ABCD的面積為______．

Answer 1

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵AE⊥AP，AE=AP=1，
∴∠AEP=∠APE=45°，∠EAF=∠BAD=90°，
∵∠BAP=∠BAP，
∴∠EAB=∠PAD，
∵在△EAB和△PAD中

AB=AD ∠EAB=∠PAD AE=AP

∴△EAB≌△PAD（SAS），
∴∠EBA=∠ADP，BE=DP，∠APD=∠AEB=180°-45°=135°，
∴∠PEB=135°-45°=90°，
即△BEP是直角三角形，
∵AE=AP=1，
∴由勾股定理得：EP=

12+12

=

2

BE=DP=

BP2-EP2

=

3

，
過B作BF⊥AE交AE的延長線于F，連接BD，
則∠FEB=180°-135°=45°，
∴∠EBF=45°=∠FEB，
∴EF=BF，
∵BE=

3

，
∴由勾股定理得：BF=EF=

6

2

，
∴S_△APB+S_△APD=S_△APB+S_△AEB=S_{四邊形AEBP}=S_△AEP+S_△PEB=

1

2

×1×1+

1

2

×

2

×

3

=

1

2

+

1

2

6

，
∵S_△DPB=

1

2

×DP×BE=

1

2

×

3

×

3

=

3

2

，
∴S正方形ABCD=2S_△ABD=2（S_△BPD+S_△APD+S_△APB）=2×（

1

2

+

1

2

6

+

3

2

）=4+

6

，
故答案為：4+

6

．