Question

【題目】如圖，C、D兩點在以AB為直徑的半圓O上，AD平分∠BAC，AB=20，AD=4 ，DE⊥AB于E．

（1）求DE的長．
（2）求證：AC=2OE．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接BD．

∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ADB中，BD= =
=4 ，
∵S△ADB= ADBD= ABDE
∴ADBD=ABDE，
∴DE= = =4 ，
即DE=4 ；
（2）解：證明：連接OD，作OF⊥AC于點F．
∵OF⊥AC，
∴AC=2AF，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠BAD．
又∵∠BOD=2∠BAD，
∴∠BAC=∠BOD，
Rt△OED和Rt△AFO中，
∵
∴△AFO≌△OED（AAS），
∴AF=OE，
∵AC=2AF，
∴AC=2OE．
【解析】（1）出現直徑時，連接直徑的端點和圓周上的一點，構成90度圓周角，利用勾股定理和面積法可以解決；（2）過圓心向弦引垂線，由垂徑定理，得平分，構造出AC的一半，再證△AFO≌△OED，可證出結論.