Question

【題目】已知：平面直角坐標系中，點A（a，b）的坐標滿足|a﹣b|+b2﹣8b+16＝0．

（1）如圖1，求證：OA是第一象限的角平分線；

（2）如圖2，過A作OA的垂線，交x軸正半軸于點B，點M、N分別從O、A兩點同時出發，在線段OA上以相同的速度相向運動（不包括點O和點A），過A作AE⊥BM交x軸于點E，連BM、NE，猜想∠ONE與∠NEA之間有何確定的數量關系，并證明你的猜想；

（3）如圖3，F是y軸正半軸上一個動點，連接FA，過點A作AE⊥AF交x軸正半軸于點E，連接EF，過點F點作∠OFE的角平分線交OA于點H，過點H作HK⊥x軸于點K，求2HK+EF的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析 （2）答案見解析 （3）8

【解析】

（1）過點A分別作x軸，y軸的垂線，垂足分別為M、N，則AN＝AM,

根據非負數的性質求出a、b的值即可得結論；

（2）如圖2，過A作AH平分∠OAB，交BM于點H，則△AOE≌△BAH，可得AH＝OE，由已知條件可知ON=AM，∠MOE＝∠MAH，可得△ONE≌△AMH，∠ABH＝∠OAE，設BM與NE交于K，則∠MKN＝180°﹣2∠ONE＝90°﹣∠NEA，即2∠ONE﹣∠NEA＝90°；

（3）如圖3，過H作HM⊥OF，HN⊥EF于M、N，可證△FMH≌△FNH，則FM＝FN，同理：NE＝EK，先得出OE+OF﹣EF＝2HK，再由△APF≌△AQE得PF＝EQ，即可得OE+OF＝2OP＝8，等量代換即可得2HK+EF的值．

解：（1）∵|a﹣b|+b2﹣8b+16＝0

∴|a﹣b|+（b﹣4）2＝0

∵|a﹣b|≥0，（b﹣4）2≥0

∴|a﹣b|＝0，（b﹣4）2＝0

∴a＝b＝4

過點A分別作x軸，y軸的垂線，垂足分別為M、N，則AN＝AM

∴OA平分∠MON

即OA是第一象限的角平分線

（2）過A作AH平分∠OAB，交BM于點H

∴∠OAH＝∠HAB＝45°

∵BM⊥AE

∴∠ABH＝∠OAE

在△AOE與△BAH中

，

∴△AOE≌△BAH（ASA）

∴AH＝OE

在△ONE和△AMH中

，

∴△ONE≌△AMH（SAS）

∴∠AMH＝∠ONE

設BM與NE交于K

∴∠MKN＝180°﹣2∠ONE＝90°﹣∠NEA

∴2∠ONE﹣∠NEA＝90°

（3）過H作HM⊥OF，HN⊥EF于M、N

可證：△FMH≌△FNH（SAS）

∴FM＝FN

同理：NE＝EK

∴OE+OF﹣EF＝2HK

過A作AP⊥y軸于P，AQ⊥x軸于Q

可證：△APF≌△AQE（SAS）

∴PF＝EQ

∴OE+OF＝2OP＝8

∴2HK+EF＝OE+OF＝8