Question

【題目】定義：如圖①，點M、N把線段AB分割成AM、MN和BN，若以AM，MN、BN為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點M，N是線段AB的勾股分割點．

（1）已知點M、N是線段AB的勾股分割點，若AM＝2，MN＝3，求BN的長；

（2）如圖2，在Rt△ABC中，AC＝BC，點M，N在斜邊AB上，∠MCN＝45°，求證：點M，N是線段AB的勾股分割點（提示：把△ACM繞點C逆時針旋轉90°）

（3）在（2）的前提下，若∠BCN＝15°，BN＝1．求AN的長．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）見解析；（3）2+

【解析】

(1)分兩種情況討論，根據勾股分割點定義可求BN的長；

(2)過點A作AD⊥AB，且AD=BN，由題意可證△ADC≌△BNC，可得CD=CN，∠ACD=∠BCN，可求∠MCD=∠MCN，則可證△MDC≌△MNC，可得MN=DM，根據勾股定理可得BN2+AM2=MN2，則點M，N是線段AB的勾股分割點；

(3)過點C作CD⊥AB，垂足為D，根據等腰直角三角形的性質可得AD=CD=BD，∠DBC=∠DCB=45°，可求∠DCN=∠DCB﹣∠NCB=30°，可得CD=DN=BD，即可求DN=，則可求AN的長．

(1)分兩種情況：

①當MN為最大線段時，

∵點 M、N是線段AB的勾股分割點，

∴BN=，

②當BN為最大線段時，

∵點M、N是線段AB的勾股分割點，

∴BN=，

綜上所述：BN的長為或；

(2)如圖，過點A作AD⊥AB，且AD=BN，

∵AD=BN，∠DAC=∠B=45°，AC=BC，

∴△ADC≌△BNC(SAS)，

∴CD=CN，∠ACD=∠BCN，

∵∠MCN=45°，

∴∠DCA+∠ACM=∠ACM+∠BCN=45°，

∴∠MCD=∠MCN，且CD=CN，CM=CM，

∴△MDC≌△MNC(SAS)，

∴MN=DM，

在Rt△MDA中，AD2+AM2=DM2，

∴BN2+AM2=MN2，

∴點M，N是線段AB的勾股分割點；

(3)如圖，過點C作CD⊥AB，垂足為D，

∵AC=BC，∠ACB=90°，CD⊥AB，

∴AD=CD=BD，∠DBC=∠DCB=45°，

∵∠BCN=15°，

∴∠DCN=∠DCB﹣∠NCB=30°，

∵tan∠DCN=，

∴CD=DN，

∴DB=DN，

∵NB=DB﹣DN=DN﹣DN=1，

∴DN=，

∴AD=DB=DN=，

∴AN=AD+DN==2+．