Question

【題目】如圖，△ABC為等邊三角形，AE=CD，AD，BE相交于點P，BQ⊥AD于點Q，PQ=3，PE=1．

（1）求證：∠ABE=∠CAD；

（2）求BP和AD的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）7

【解析】

（1）根據SAS證明△ABE與△CAD全等即可得出結論；

（2）根據含30°的直角三角形的性質解答即可．

解：（1）證明：∵△ABC為等邊三角形

∴AB=CA，∠BAE=∠C=60°

在△ABE和△CAD中

∴△ABE≌△CAD（SAS）

∴∠ABE=∠CAD

（2）在△ABP中，∠BPQ=∠ABP＋∠BAP

∵∠ABP=∠CAD

∴∠BPQ=∠ABP＋∠BAP=∠CAD＋∠BAP=∠BAC=60°

∵BQ⊥AD，PQ=3，PE=1．

∴在Rt△BPQ中，∠BPQ=60°，則∠PBQ=30°.

∴BP=2PQ=6

∴BE=BP＋PE=7.

由（1）△ABE≌△CAD，

∴AD=BE=7.