Question

【題目】如圖，AB是半圓O的直徑，半徑OC⊥AB，OB＝4，D是OB的中點，點E是弧BC上的動點，連接AE， DE．

（1）當點E是弧BC的中點時，求△ADE的面積；

（2）若tan∠AED＝，求AE的長；

（3）點F是半徑OC上一動點，設點E到直線OC的距離為m，

①當△DEF是等腰直角三角形時，求m的值；

②延長DF交半圓弧于點G，若弧AG＝弧EG，AG∥DE，直接寫出DE的長　 　．

Answer 1

【答案】（1）6；（2）（3）①②

【解析】

（1）因為點E是弧BC的中點，連接OE，BE，利用45°構造直角三角形，利用△AEB的射影定理結論建立方程即可．
（2）條件中有三角函數，所以作DF⊥AE構造直角三角形，接著出現平行相似，利用AD與AB之比，表示AF，用△AFD建立勾股關系方程．
（3）①分別以D、E、F為直角端點分類討論，用K型全等和射影定理結論建立方程求解．
②需要導角證明△BDE為等腰三角形，用勾股定理求出AG，用△AOG～△DEB求出DE

解：（1）如圖，作EH⊥AB，連接OE，EB

設DH＝a，則HB＝2﹣a，OH＝2+a

∵點E是弧BC中點

∴∠COE＝∠EOH＝45°

∴EH＝OH＝2+a

在Rt△AEB中，EH2＝AHBH

（2+a）2＝（6+a）（2﹣a）

解得a＝

∴a＝，

S△ADE＝

（2）如圖，作DF⊥AE，垂足為F，連接BE

設EF＝2x，DF＝3x

∵DF∥BE

∴

∴ ＝3

∴AF＝6x

在Rt△AFD中，AF2+DF2＝AD2

（6x）2+（3x）2＝（6）2

解得x＝

AE＝8x＝.

（3）①I.當點D為等腰直角三角形直角頂點時，如圖

設DH＝a

可證△ODF≌△EDH

∴OD＝EH＝2

在Rt△ABE中，EH2＝AHBH

22＝（6+a）（2﹣a）

解得a＝，a=(不合題意舍去)

∴DH=， m＝OH =

II.當點E為等腰直角三角形直角頂點時，如圖

可證△EFG≌△EDH

設DH＝a，則GE＝a，EH＝CG＝2+a

在Rt△ABE中，EH2＝AHBH

（2+a）2＝（6+a）（2﹣a）

解得a＝，a=(不合題意舍去)

∴DH=， m＝OH =

III.當點F為等腰直角三角形直角頂點時，如圖

可證△EFM≌△ODF

設OF＝a，則ME＝a，MF＝OD＝2

∴EH＝a+2，

在Rt△ABE中，EH2＝AHBH，

（a+2）2＝（4+a）（4﹣a），

解得a＝，a=（不合題意舍去），

m＝；

綜上所述：m的值為或或.

②可證△BDE為等腰三角形，

BD＝BE＝2，

∵△AOF～△ABE，

∴OF＝1，

在Rt△OFA中，由勾股定理可得AF＝，

GF＝3，

勾股定理可得AG＝，

∵△AOG～△DEB

∴，

∴DE＝