Question

【題目】如圖，四邊形是菱形，以點為坐標原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系．若點的坐標為，直線與軸相交于點，連接．

（1）求菱形的邊長；

（2）證明為直角三角形；

（3）直線上是否存在一點使得的面積與的面積相等？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）13；（2）證明見解析；（3）為或．

【解析】

（1）過點作軸于點，利用A點坐標及勾股定理即可求解；

（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)求出B,C點坐標，再求出AC的解析式，進而求出D點坐標，利用待定系數(shù)法求出直線BD,BC的解析式，根據(jù)k的值即可判斷；

（3）根據(jù)△與的面積相等，故同底等高，于是延長BD交AO于P，即為所求，聯(lián)立兩直線的解析式即可求出P點坐標，再根據(jù)對稱性求出另一點坐標．

解（1）過點作軸于點，

，，

∴

（2）∵為菱形，∴，

∴

又∵，

∴

又∵，

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b(k≠0)

把A,C代入得，

解得，

∴，

令x=0,y=，

∴點

設(shè)直線BC的解析式為y=px+q(p≠0)

把B,C代入得，

解得，

∴，

設(shè)直線BD的解析式為y=mx+n(m≠0)

把B,D代入得，

解得，

∴，

∴

∵，

∴

所以為直角三角形；

（3）延長交于點，

∵，

∴

∵，

設(shè)直線AO的解析式為y=cx（c≠0），

把A代入得12=-5c，

解得c=，

∴，

由（2）知聯(lián)立得：

，

解得，

所以點，

作關(guān)于點的對稱點，

設(shè)P’（x,y），

可根據(jù)中點得：，

解得，

∴，

綜上點為或．