Question

【題目】如圖，拋物線y＝x2＋bx＋c過點A(3，0)，B(1，0)，交y軸于點C，點P是該拋物線上一動點，點P從C點沿拋物線向A點運動(點P不與點A重合)，過點P作PD∥y軸交直線AC于點D.

(1)求拋物線的解析式；

(2)求點P在運動的過程中線段PD長度的最大值；

(3)在拋物線對稱軸上是否存在點M，使|MA－MC|最大？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y＝x2－4x＋3.（2）當x＝時，線段PD的長度有最大值.（3）存在點M(2，－3)，使|MA－MC|最大.

【解析】試題分析：（1）把點A、B的坐標代入拋物線解析式，解方程組得到b、c的值，即可得解；

（2）求出點C的坐標，再利用待定系數法求出直線AC的解析式，再根據拋物線解析式設出點P的坐標，然后表示出PD的長度，再根據二次函數的最值問題解答；

（3）根據拋物線的對稱性可知MA=MB，再根據三角形的任意兩邊之差小于第三邊可知點M為直線CB與對稱軸交點時，|MA﹣MC|最大，然后利用待定系數法求出直線BC的解析式，再求解即可．

試題解析：（1）∵拋物線y=x2+bx+c過點A（3，0），B（1，0），

∴，

解得，

∴拋物線解析式為y=x2﹣4x+3；

（2）令x=0，則y=3，

∴點C（0，3），

則直線AC的解析式為y=﹣x+3，

設點P（x，x2﹣4x+3），

∵PD∥y軸，

∴點D（x，﹣x+3），

∴PD=（﹣x+3）﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x=﹣（x﹣）2+，

∵a=﹣1＜0，

∴當x=時，線段PD的長度有最大值；

（3）由拋物線的對稱性，對稱軸垂直平分AB，

∴MA=MB，由三角形的三邊關系，|MA﹣MC|＜BC，

∴當M、B、C三點共線時，|MA﹣MC|最大，為BC的長度，

設直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），

則，

解得，

∴直線BC的解析式為y=﹣3x+3，

∵拋物線y=x2﹣4x+3的對稱軸為直線x=2，

∴當x=2時，y=﹣3×2+3=﹣3，

∴點M（2，﹣3），

即，拋物線對稱軸上存在點M（2，﹣3），使|MA﹣MC|最大．