Question

【題目】已知關于x的二次函數y=x2+（k2﹣3k﹣4）x+2k的圖象與x軸從左到右交于A，B兩點，且這兩點關于原點對稱．

（1）求k的值；

（2）在（1）的條件下，若反比例函數y=的圖象與二次函數y=x2+（k2﹣3k﹣4）x+2k的圖象從左到右交于Q，R，S三點，且點Q的坐標為（﹣1，﹣1），點R（xR，yR），S（xs，ys）中的縱坐標yR，ys分別是一元二次方程y2+my﹣1=0的解，求四邊形AQBS的面積S四邊形AQBS；

（3）在（1），（2）的條件下，在x軸下方是否存在二次函數y=x2+（k2﹣3k﹣4）x+2k圖象上的點P使得S△PAB=2S△RAB？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）－1；（2）；（3）不存在，理由見解析

【解析】試題分析：（1）設A點坐標為（x1，0），B點坐標為（x2，0），由A、B兩點關于原點對稱，即可得x1+x2=0，又由x1+x2=﹣（k2﹣3k﹣4），即可求得k的值；

（2）由Q點的坐標求出m的值，從而確定一元二次方程y2﹣my﹣1=0即為y2+y﹣1=0，解得：y= ，因為點R在點S的左邊，所以yR= ，由（1）得二次函數y=x2﹣2，令x2﹣2=0，解得：x1=-,x2=，所以A（﹣，0），B（，0），即可求得AB的長，又由四邊形AQBS的面積為：S△AQB+S△ASB求得答案；

（3）由拋物線的頂點坐標為（0，﹣2），假設滿足條件的點P存在，由S△PAB=2S△RAB，可得點P的縱坐標，即可得即在x軸下方拋物線上不存在點P，使S△PAB=2S△RAB．

試題解析：

（1）設A點坐標為（x1，0），B點坐標為（x2，0），

∵A、B兩點關于原點對稱，

∴x1+x2=0，

又x1+x2=﹣（k2﹣3k﹣4），

則k2﹣3k﹣4=0，

解得k1=﹣1，k2=4，

當k=4時，拋物線為y=x2+8，此時△=﹣32＜0，舍去；

當k=﹣1時，拋物線為y=x2﹣2，此時△=8＞0，則拋物線與x軸交于兩點，

故所求k值為﹣1．

（2）如圖：

∵Q的坐標為（﹣1，﹣1），在y=上，

∴-1= ，

解得：m=1，

∴一元二次方程y2﹣my﹣1=0即為y2+y﹣1=0，

解得：y= ，

∵點R在點S的左邊，

∴yR=，

由（1）得二次函數y=x2﹣2，令x2﹣2=0，解得：x1=-,x2=，

∴A（﹣，0），B（，0），

∴AB=|-(-)|=2，

則四邊形AQBS的面積為：

S△AQB+S△ASB=

（3）∵拋物線的頂點坐標為（0，﹣2），假設滿足條件的點P存在，

則∵S△PAB=2S△RAB，

∴點P的縱坐標為：2×（）=﹣1- ，

而﹣1﹣，

∴P點不存在．

即在x軸下方拋物線上不存在點P，使S△PAB=2S△RAB．