Question

【題目】已知函數是關于x的二次函數，求：

(1)滿足條件m的值。

(2)m為何值時，拋物線有最底點?求出這個最底點的坐標，這時為何值時y隨的增大而增大?

(3)m為何值時，拋物線有最大值?最大值是多少?這時為何值時，y隨的增大而減小．

Answer 1

【答案】(1) (2)m=2,（0,0） (3)見解析

【解析】試題分析：

(1) 對照題目中所給出的二次函數解析式與二次函數的一般形式容易得到m的取值需要滿足的條件. 綜合考慮能夠同時滿足這些條件的m的取值即可.

(2) 根據二次函數的圖象與性質易知，當拋物線開口向上時有最低點，且拋物線的開口方向由(m+2)的符號確定. 利用這一規律可以得到滿足題意的m的取值范圍，再結合第(1)小題的結論即可確定m的取值. 利用m的取值可以得到二次函數的具體解析式，不難得到拋物線最低點的坐標. 根據二次函數的圖象與性質易知，拋物線開口向上時，在對稱軸右側y隨x的增大而增大.

(3) 根據二次函數的圖象與性質易知，當拋物線開口向下時有最大值. 仿照第(2)小題的思路即可得解.

試題解析：

(1) 對照該函數解析式與二次函數的一般形式y=ax2+bx+c (a≠0)可知，m的取值應該同時滿足下列兩個條件：

，

解上述不等式，得 m≠-2，

解上述一元二次方程，得 m1=2，m2=-3，

因此，滿足條件的m值為2或-3.

(2) 由二次函數的圖象與性質可知：當m+2>0時，拋物線開口向上，有最低點.

故m的取值應該滿足：m+2>0，即m>-2，

結合第(1)小題的結論得，當m=2時，拋物線有最低點.

當m=2時，二次函數的解析式為：y=4x2，故該拋物線最低點的坐標為(0, 0).

由于二次函數y=4x2圖象的對稱軸為y軸，即直線x=0，且拋物線開口向上，故當x>0時y隨x的增大而增大.

綜上所述，當m=2時，拋物線有最低點，最低點的坐標為(0, 0)；當x>0時，y隨x的增大而增大.

(3) 由二次函數的圖象與性質可知：當m+2<0時，拋物線開口向下，有最大值.

故m的取值應該滿足：m+2<0，即m<-2，

結合第(1)小題的結論得，當m=-3時，拋物線有最大值.

當m=-3時，二次函數的解析式為：y=-x2，

故當x=0時，該拋物線取得最大值，最大值為0.

由于二次函數y=-x2圖象的對稱軸為y軸，即直線x=0，且拋物線開口向下，故當x>0時y隨x的增大而減小.

綜上所述，當m=-3時，拋物線有最大值，最大值為0；當x>0時，y隨x的增大而減小.