Question

【題目】對于平面直角坐標系xOy中的點P和圖形G，給出如下定義：在圖形G上若存在兩點M、N，使△PMN為正三角形，則稱圖形G為點P的T型線，點P為圖形G的T型點，△PMN為圖形G關于點P的T型三角形．若H（0，﹣2）是拋物線y＝x2+n的T型點，則n的取值范圍是_____．

Answer 1

【答案】n

【解析】

y=x2+n是對稱軸為y軸的拋物線，頂點為（0，n），根據新定義可知：H與拋物線的兩點能組成等邊三角形，即直線AH與拋物線的交點，其交點就是等邊三角形的另兩點M、N，根據題意得∠AHO=30°，∠OAH=60°，OH=2，利用三角函數求出點A的坐標，利用待定系數法求一次函數的解析式，當拋物線與直線有交點時，才有H（0，-2）是拋物線y=x2+n的T型點，因此列方程x2+n=x-2，有解時才有結論得出，即△≥0，解不等式即可．

如圖，

∵H（0，-2）是拋物線y=x2+n的T型點，

∴∠AHO=30°，

tan30°=，

OA=2×，

∴A（，0），

∴通過H的直線的解析式為：y=x-2，

∵y=x2+n，

∴當x2+n=x-2有解時，才有H（0，-2）是拋物線y=x2+n的T型點，

即△=3-4（n+2）≥0，

n≤-，

∴當n≤-時，H（0，-2）是拋物線y=x2+n的T型點，

故答案為n≤-．