Question

【題目】如圖1所示，在中，，點是線段延長線上一點，且，點是線段上一點，連接，以為斜邊作等腰，連接，滿是條件.

（1）若，，，求的長度；

（2）求證：；

（3）如圖2，點是線段延長線上一點，其余條件與題干一致，探究、、之間的數量關系，并證明你的結論.

Answer 1

【答案】（1）AB=4；（2）見詳解；（3）AE+AF=BC，證明見詳解.

【解析】

（1）在等腰直角三角形DEF中，∠DEF=90°，求得∠1=20°，根據余角的定義得到∠2=∠DEF-∠1=70°，根據三角形的內角和得到∠3=60°，∠4=30°根據三角函數的定義得到AB=2BC，于是得到結論；
（2）如圖1，過D作DM⊥AE于D，在△DEM中，由余角的定義得到∠2+∠5=90°，由于∠2+∠1=90°，推出∠1=∠5證得△DEM≌△EFA，根據全等三角形的性質得到AF=EM，根據三角形的內角和和余角的定義得到∠3=∠B，推出△DAM≌△ABC，根據全等三角形的性質得到BC=AM，即可得到結論；
（3）如圖2，過D作DM⊥AE交AE的延長線于M根據余角的定義和三角形的內角和得到∠2=∠B，證得△ADM≌△BAC，由全等三角形的性質得到BC=AM，由于EF=DE，∠DEF=90°，推出∠4=∠5，證得△MED≌△AFE，根據全等三角形的性質得到ME=AF，即可得到結論．

解：（1）在等腰直角三角形DEF中，∠DEF=90°，

∵∠1=20°，
∴∠2=∠DEF∠1=70°，
∵∠EDA+∠2+∠3=180°，
∴∠3=60°，
∵EA⊥AB，
∴∠EAB=90°，
∵∠3+∠EAB+∠4=180°，
∴∠4=30°，
∵∠C=90°，
∴AB=2BC=4；

（2）如圖1，過D作DM⊥AE于M，

在△DEM中，∠2+∠5=90°，
∵∠2+∠1=90°，
∴∠1=∠5，
∵DE=FE，
在△DEM與△EFA中，
，
∴△DEM≌△EFA，
∴AF=EM，
∵∠4+∠B=90°，
∵∠3+∠EAB+∠4=180°，
∴∠3+∠4=90°，
∴∠3=∠B，
在△DAM與△ABC中，
，
∴△DAM≌△ABC，
∴BC=AM，
∴AE=EM+AM=AF+BC；
（3）如圖2，過D作DM⊥AE交AE的延長線于M，

∵∠C=90°，
∴∠1+∠B=90°，
∵∠2+∠MAB+∠1=180°，∠MAB=90°，
∴∠2+∠1=90°，∠2=∠B，
在△ADM與△BAC中，
，
∴△ADM≌△BAC，
∴BC=AM，
∵EF=DE，∠DEF=90°，
∵∠3+∠DEF+∠4=180°，
∴∠3+∠4=90°，
∵∠3+∠5=90°，
∴∠4=∠5，
在△MED與△AFE中，
，
∴△MED≌△AFE，
∴ME=AF，
∴AE+AF=AE+ME=AM=BC，
即AE+AF=BC．