Question

【題目】已知四邊形為菱形，，，的兩邊分別與射線、相交于點、，且.

（1）如圖1，當點是線段的中點時，請直接寫出線段與之間的數量關系；

（2）如圖2，當點是線段上的任意一點（點不與點、重合）時，求證：；

（3）如圖3，當點在線段的延長線上，且時，求線段的長.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）.

【解析】

（1）連接AC，先證△ABC是等邊三角形，再由題意得出AE⊥BC，∠B=60°求解可得；
（2）證△BAE≌△CAF即可得；
（3）作AG⊥BC，由∠EAB=15°，∠ABC=60°知∠AEB=45°，根據AG=2得EG=AG=2，EB=EG-BG=2-2，再證△AEB≌△AFC知EB=FC，由FD=FC+CD=EB+CD可得答案．

解：（1）如圖1，連接AC，

∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
又∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∵E是BC中點，
∴AE⊥BC，BE=BC=AB
在Rt△ABE中，AE=BEtanB=BE；

（2）證明：連接，如圖2中，

∵四邊形是菱形，，

∴與都是等邊三角形，

∴，.

∵，

∴，

在和中，

，

∴.

∴.

（3）解：連接，過點作于點，如圖3所示，

∵，，

∴.

在中，

∵，，

∴，

∴.

在中，

∵，，

∴，

∴.

由（2）得，，

則，

∵，

∴，

可得，

∴，

∴.