Question

【題目】(1) 如圖，AD 是等腰△ABC 的中線，AB＝AC．把△BDA 繞 B 點順時針旋轉α角度（0°＜α＜90°）得到△BEF，點 D 對應 E 點，點 A 對應 F 點，AF 與 DE 交于點 G。

① 求證：△BAF∽△BDE

② 求證：AG＝FG

(2) 如圖，AB 是⊙O 的一條運動的弦，以 AB 為邊向圓外作正方形 ABCD．若⊙O 的半徑為 2， 則 OC 的長的最大值是

Answer 1

【答案】(1) 見詳解；(2).

【解析】

(1) ①根據旋轉的性質，得到∠ABD=∠FBE，， AB=FB，∠ABF=∠DBE，可得證；

②證明△BHE∽△GHF，△BHG∽△EHF，得到∠BGF=90°,由 (1) 中AB=BF，得證AG＝FG；

(2) 根據勾股定理得到OC=OB+BC，可知當當AB為圓的直徑時，OC有最大值.

(1) ①∵△ABD旋轉到△FBE, ∴∠ABD=∠FBE，， AB=FB，
∴∠ABD+∠DBF=∠FBE+∠DBF，即∠ABF=∠DBE，
∴△BAF∽△BDE；
②聯結BG，令BF、EG交于H，
∵△BAF∽△BDE，
∴∠AFB=∠DEB，
又∵∠BHE=∠GHF，
∴△BHE∽△GHF，
∴，
又∵∠BHG=∠EHF，
∴△BHG∽△EHF，
∴∠GBH=∠FEH，
∵∠BEH+∠FEH=∠GFH+∠GBH=90°，
∴∠BGF=90°, 即BG⊥AF，
又∵AB=BF，
∴AG=GF；

(2) 由勾股定理得OC=OB+BC，

∵半徑OB=2，

∴當BC為最大時，OC有最大值，

又∵在正方形 ABCD中，AB=BC，

∴當AB為圓的直徑時，OC有最大值=.