Question

【題目】在△ABC 中，AB＝AC，點 O 是△ABC 的外心，∠BOC＝60°，BC＝2，則 S△ABC＝_

Answer 1

【答案】

【解析】

仔細分析題目信息，由于不確定點A的位置，故需分點A在△ABC的外接圓的優弧BC上或劣弧BC上，根據題意畫出圖形；

當點A在△ABC的外接圓的優弧BC上時，記此時的三角形為△A1BC時，連接OB、OC；

根據等邊三角形的判定易得△OBC為等邊三角形，利用等邊三角形的性質及勾股定理不難求得△OBC的高OD的值，那么△A1BC的高也就知曉了；

此時利用三角形的面積公式即可求出△A1BC的面積了；

當點A在△ABC的外接圓的劣弧BC上時，記此時的三角形為△A2BC時，連接OB、OC，此時按照上述方法求出△A2BC的面積即可解答！

解：根據題意畫出圖形，

存在兩種情況，

①當△ABC為△A1BC時，連接OB、OC，

∵點O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底邊BC=2，OB=OC，

∴△OBC為等邊三角形，

∴OB=OC=BC=2，OA1⊥BC于點D，

∴CD=1，

∴OD=，

∴A1D=OA1-OD=2-，

∴S△A1BC=BCA1D2=；

②當△ABC為△A2BC時，連接OB、OC，

∵點O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底邊BC=2，OB=OC，

∴△OBC為等邊三角形，

∴OB=OC=BC=2，OA1⊥BC于點D，

∴CD=1，

∴OD=，

∴A2D=OD+OA2=2+，

∴S△A2BC=BC·A2D2=.

∴△ABC的面積為.