Question

【題目】（幾何背景）如圖1，AD為銳角△ABC的高，垂足為D．求證：AB2﹣AC2＝BD2﹣CD2

（知識遷移）如圖2，矩形ABCD內任意一點P，連接PA、PB、PC、PD，請寫出PA、PB、PC、PD之間的數量關系，并說明理由．

（拓展應用）如圖3，矩形ABCD內一點P，PC⊥PD，若PA＝a，PB＝b，AB＝c，且a、b、c滿足a2﹣b2＝c2，則的值為　 　（請直接寫出結果）

Answer 1

【答案】【幾何背景】：詳見解析；【知識遷移】：詳見解析；【拓展應用】：

【解析】

幾何背景：由 Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2，Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2，則結論可證．

知識遷移：過P點作PE⊥AD，延長EP交BC于F，可證四邊形ABFE，四邊形DCFE是矩形．根據上面的結論求得PA、PB、PC、PD之間的數量關系．

拓展應用：根據勾股定理可列方程組，可求PD＝c，PC＝c即可得.

解：幾何背景：在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2

Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2，

∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，

∴AB2﹣AC2＝BD2﹣CD2．

知識遷移：BP2﹣PC2 ＝BF2﹣CF2．

如 圖：

過P點作PE⊥AD，延長EP交BC于F

∴四邊形ABCD是矩形

∴AD∥BC∠BAD＝∠ADC＝∠DCB＝∠ABC＝90°

又∵PE⊥AD

∴PF⊥BC

∵PE是△APD的高

∴PA2﹣PD2＝AE2﹣DE2．

∵PF是△PBC的高

∴BP2﹣PC2 ＝BF2﹣CF2．

∵∠BAD＝∠ADC＝∠DCB＝∠ABC＝90°，PE⊥AD，PF⊥BC

∴四邊形ABFE，四邊形DCFE是矩形

∴AE＝BF，CF＝DE

∴PA2﹣PD2＝BP2﹣PC2．

拓展應用：∵PA2﹣PD2＝BP2﹣PC2．

∴PA2﹣PB2＝c2．

∴PD2﹣PC2＝c2．

且PD2+PC2＝c2．

∴PD＝c，PC＝c

∴，

故答案為.