Question

【題目】如圖，已知線段AB=2，MN⊥AB于點M，且AM=BM，P是射線MN上一動點，E，D分別是PA，PB的中點，過點A，M，D的圓與BP的另一交點C（點C在線段BD上），連結AC，DE．

（1）當∠APB=28°時，求∠B和 的度數；
（2）求證：AC=AB．
（3）在點P的運動過程中
①當MP=4時，取四邊形ACDE一邊的兩端點和線段MP上一點Q，若以這三點為頂點的三角形是直角三角形，且Q為銳角頂點，求所有滿足條件的MQ的值；
②記AP與圓的另一個交點為F，將點F繞點D旋轉90°得到點G，當點G恰好落在MN上時，連結AG，CG，DG，EG，直接寫出△ACG和△DEG的面積之比．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵MN⊥AB，AM=BM，

∴PA=PB，

∴∠PAB=∠B，

∵∠APB=28°，

∴∠B=76°，

如圖1，連接MD，

∵MD為△PAB的中位線，

∴MD∥AP，

∴∠MDB=∠APB=28°，

∴ =2∠MDB=56°；

（2）

證明：∵∠BAC=∠MDC=∠APB，

又∵∠BAP=180°﹣∠APB﹣∠B，∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠B，

∴∠BAP=∠ACB，

∵∠BAP=∠B，

∴∠ACB=∠B，

∴AC=AB；

（3）

解：①如圖2，記MP與圓的另一個交點為R，

∵MD是Rt△MBP的中線，

∴DM=DP，

∴∠DPM=∠DMP=∠RCD，

∴RC=RP，

∵∠ACR=∠AMR=90°，

∴AM2+MR2=AR2=AC2+CR2，

∴12+MR2=22+PR2，

∴12+（4﹣PR）2=22+PR2，

∴PR= ，

∴MR= ，

Ⅰ．當∠ACQ=90°時，AQ為圓的直徑，

∴Q與R重合，

∴MQ=MR= ；

Ⅱ．如圖3，當∠QCD=90°時，

在Rt△QCP中，PQ=2PR= ，

∴MQ= ；

Ⅲ．如圖4，當∠QDC=90°時，

∵BM=1，MP=4，

∴BP= ，

∴DP= BP= ，

∵cos∠MPB= = ，

∴PQ= ，

∴MQ= ；

Ⅳ．如圖5，當∠AEQ=90°時，

由對稱性可得∠AEQ=∠BDQ=90°，

∴MQ= ；

綜上所述，MQ的值為 或 或 ；

②△ACG和△DEG的面積之比為 ．

理由：如圖6，∵DM∥AF，

∴DF=AM=DE=1，

又由對稱性可得GE=GD，

∴△DEG是等邊三角形，

∴∠EDF=90°﹣60°=30°，

∴∠DEF=75°=∠MDE，

∴∠GDM=75°﹣60°=15°，

∴∠GMD=∠PGD﹣∠GDM=15°，

∴GMD=∠GDM，

∴GM=GD=1，

過C作CH⊥AB于H，

由∠BAC=30°可得CH= AC= AB=1=MG，AH= ，

∴CG=MH= ﹣1，

∴S△ACG= CG×CH= ，

∵S△DEG= ，

∴S△ACG：S△DEG= ．

【解析】（1）根據三角形ABP是等腰三角形，可得∠B的度數，再連接MD，根據MD為△PAB的中位線，可得∠MDB=∠APB=28°，進而得到 =2∠MDB=56°；（2）根據∠BAP=∠ACB，∠BAP=∠B，即可得到∠ACB=∠B，進而得出AC=AB；（3）①記MP與圓的另一個交點為R，根據AM2+MR2=AR2=AC2+CR2 ， 即可得到PR= ，MR= ，再根據Q為直角三角形銳角頂點，分四種情況進行討論：當∠ACQ=90°時，當∠QCD=90°時，當∠QDC=90°時，當∠AEQ=90°時，即可求得MQ的值為 或 或 ；②先判定△DEG是等邊三角形，再根據GMD=∠GDM，得到GM=GD=1，過C作CH⊥AB于H，由∠BAC=30°可得CH= AC=1=MG，即可得到CG=MH= ﹣1，進而得出S△ACG= CG×CH= ，再根據S△DEG= ，即可得到△ACG和△DEG的面積之比．