Question

【題目】如圖1～4，在直角邊分別為3和4的直角三角形中，每多作一條斜邊上的高就增加一個三角形的內切圓，依此類推，圖10中有10個直角三角形的內切圓，它們的面積分別記為S1，S2，S3，…，S10，則S1+S2+S3+…+S10= ．

Answer 1

【答案】.

【解析】

試題分析：（1）如圖1，過點O做OE⊥AC，OF⊥BC，垂足為E、F，則∠OEC=∠OFC=90°，∵∠C=90°，∴四邊形OECF為矩形.∵OE=OF，∴矩形OECF為正方形.設圓O的半徑為r，則OE=OF=r，AD=AE=3﹣r，BD=4﹣r.∴3﹣r+4+r=5，∴S1=π×12=π； （2）圖2，由S△ABC=，∴CD=.

在Rt△ACD中：，∴ .由（1）得：⊙O的半徑為 ，⊙E的半徑為.∴.

（3）圖3，由S△CDB=，∴.∴ ，.由（1）得：⊙O的半徑=，：⊙E的半徑=，：⊙F的半徑=.∴S1+S2+S3=π.同理可得S1+S2+S3+S4=.則S1+S2+S3+…+S10=π.