Question

（2013•宜城市模擬）如圖，四邊形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，頂點在B點的拋物線交x軸于點A、D，交y軸于點E，連接AE、BE．已知tan∠CBE=

1

3

，A（3，0），D（-1，0），E（0，3）．
（1）求拋物線的解析式及頂點B的坐標；
（2）求證：CB是△ABE外接圓的切線；
（3）試探究在拋物線上是否存在一點P，使以D、E、A、P為頂點的四邊形是梯形？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設拋物線解析式為y=ax²+bx+c將A（3，0），D（-1，0），E（0，3）代入即可得出a，b，c的值，進而得出拋物線的解析式；
（2）過點B作BM⊥y于點M，則M（0，4）．在Rt△AOE中，因為OA=OE=3，所以∠1=∠2=45°，再根據勾股定理即可求出AE的長，同理可得出BE的長，
（3）由于梯形的兩底邊不能確定，故應分EP∥AD，AE∥DP，DE∥AP三種情況進行分類討論．

解答：解：（1）設拋物線解析式為y=ax²+bx+c
將A（3，0），D（-1，0），E（0，3）代入上式，得

9a+3b+c=0 a-b+c=0 c=3

，
解得：a=-1，b=2，c=3，
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3．
又∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴點B（1，4）；

（2）證明：如圖，過點B作BM⊥y于點M，則M（0，4）．
在Rt△AOE中，
∵OA=OE=3，
∴∠1=∠2=45°，AE=

OA2+OE2

=

32+32

=3

2

．
在Rt△EMB中，EM=OM-OE=1=BM，
∴∠MEB=∠MBE=45°，BE=

EM2+BM2

=

2

．
∴∠BEA=180°-∠1-∠MEB=90°．
∴AB是△ABE外接圓的直徑．
在Rt△ABE中，tan∠BAE=

BE

AE

=

1

3

=tan∠CBE，
∴∠BAE=∠CBE．
在Rt△ABE中，∠BAE+∠3=90°，
∴∠CBE+∠3=90°
∴∠CBA=90°，即CB⊥AB．
∴CB是△ABE外接圓的切線；

（3）存在．
當EP∥AD時，
∵E（0，3），
∴直線EP的解析式為y=3，
∴

y=3 y=-x2+2x+3

，解得

x=2 y=3

；
當AE∥DP時，
設直線AE的解析式為y=kx+b（k≠0），
∵A（3，0），E（0，3），
∴

3k+b=0 b=3

，解得

k=-1 b=3

，
∴直線AE的解析式為y=-x+3，
設直線DP的解析式為y=-x+b，
∵D（-1，0），
∴1+b=0，解得b=-1，
∴直線DP的解析式為y=-x-1，
∴

y=-x-1 y=-x2+2x+3

，解得

x=4 y=-5

或

x=-1 y=0

（舍去），
∴P（4，-5）；
當DE∥AP時，
設直線DE的解析式為y=kx+b（k≠0），
∵D（-1，0），E（0，3），
∴

-k+b=0 b=3

，解得

k=3 b=3

，
∴直線DE的解析式為y=3x+3，
設直線AP的解析式為y=3x+b，
∵A（3，0），
∴9+b=0，解得b=-9，
∴直線AP的解析式為y=3x-9，
∴

y=3x-9 y=-x2+2x+3

，解得

x=-4 y=-21

或

x=3 y=0

（舍去）．
綜上所述，點P的坐標為（2，3）或（4，-5）或（-4，-21）．

點評：本題考查的是二次函數綜合題，涉及到用待定系數法求二次函數及一次函數的解析式，兩直線平行的相關知識，難度適中．