Question

【題目】如圖，拋物線（、、為常數，）經過點，，.

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖，在直線下方的拋物線上是否存在點使四邊形的面積最大？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）若點為拋物線的對稱軸上的一個動點，試指出為等腰三角形的點共有幾個？并求以為底邊時，點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，；（3）點的坐標為：或或或或.

【解析】

（1）拋物線經過點，，，可利用兩點式法設拋物線的解析式為，代入即可求得函數的解析式；

（2）作輔助線，將四邊形分成三個圖形，兩個三角形和一個梯形，設，四邊形的面積為，用字母表示出四邊形的面積，發現是一個二次函數，利用頂點坐標求極值，從而求出點的坐標.

（3）分三種情況畫圖：①以為圓心，為半徑畫弧，交對稱軸于和，有兩個符合條件的和；②以為圓心，以為半徑畫弧，也有兩個符合條件的和；③作的垂直平分線交對稱軸于一點，有一個符合條件的；最后利用等腰三角形的腰相等，利用勾股定理列方程求出坐標.

解：（1）設，

把代入：，

，

∴；

（2）存在，

如圖1，分別過、向軸作垂線和，垂足分別為、，

設，四邊形的面積為，

則，，，，，

∴，

，

，

，

當時，有最大值為48，這時，

∴，

（3）這樣的點一共有5個，

①以為圓心，以為半徑畫弧，交拋物線的對稱軸于、，則，

設對稱軸交軸于，

；

∴拋物線的對稱軸是：，

∵，，

∴，

∴，

由勾股定理得：，

∴，

②以為圓心，以為半徑畫弧，交拋物線的對稱軸于、，

∴，

過作于，則，

∵，

∴，

由勾股定理得：，

∴，

∴，

∵，

∴，

③連接、，

因為在對稱軸上，所以設，

∵是等腰三角形，且，

由勾股定理得：，

，

∴.

綜上所述，點的坐標為：或或或或.