Question

【題目】（2017甘肅省天水市）△ABC和△DEF是兩個全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的頂點E與△ABC的斜邊BC的中點重合，將△DEF繞點E旋轉，旋轉過程中，線段DE與線段AB相交于點P，線段EF與射線CA相交于點Q．

（1）如圖①，當點Q在線段AC上，且AP=AQ時，求證：△BPE≌△CQE；

（2）如圖②，當點Q在線段CA的延長線上時，求證：△BPE∽△CEQ；并求當BP=2，CQ=9時BC的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析，．

【解析】

試題（1）由AB=AC，AP=AQ可得BP=CQ，又因BE=CE，∠B=∠C=45°，利用“SAS”判定△BPE≌△CQE；（2）連接PQ，根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，所以∠BEP=∠EQC；再由兩角對應相等的兩個三角形相似可得△BPE∽△CQE，根據相似三角形的性質可得，把BP=a，CQ=代入上式可求得BE=CE=，再求得，AB=AC=BCsin45°=3a，所以，，在Rt△APQ中，由勾股定理可得．

試題解析：

解：（1）證明：∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠B=∠C=45°，AB=AC，

∵AP=AQ，

∴BP=CQ，

∵E是BC的中點，

∴BE=CE，

在△BPE和△CQE中，

∵，

∴△BPE≌△CQE（SAS）；

（2）解：連接PQ，

∵△ABC和△DEF是兩個全等的等腰直角三角形，

∴∠B=∠C=∠DEF=45°，∵∠BEQ=∠EQC+∠C，

即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，

∴∠BEP+45°=∠EQC+45°，

∴∠BEP=∠EQC，

∴△BPE∽△CQE,

∴，

∵BP=a，CQ=a，BE=CE，

∴，

∴BE=CE=，

∴，

∴AB=AC=BCsin45°=3a，

∴，，

在Rt△APQ中，．