Question

【題目】已知：如圖，在平面直角坐標系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，點A，C的坐標分別為A（﹣3，0），C（1，0），BC＝AC．

（1）在x軸上找一點D，連接DB，使得△ADB與△ABC相似（不包括全等），并求點D的坐標；

（2）在（1）的條件下，如P，Q分別是AB和AD上的動點，連接PQ，設AP＝DQ＝m，問是否存在這樣的m，使得△APQ與△ADB相似？如存在，請求出m的值；如不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（，0）；（2）存在，當m＝或時，△APQ與△ADB相似，理由見解析

【解析】

（1）如圖1，過點B作BD⊥AB，交x軸于點D，可證△ABC∽△ADB，可得∠ABC＝∠ADB，可證△ABC∽△BDC，可得，可求CD的長，即可求點D坐標；

（2）分兩種情況討論，由相似三角形的性質可求解．

（1）如圖1，過點B作BD⊥AB，交x軸于點D，

∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ABD＝90°，

∴△ABC∽△ADB，

∴∠ABC＝∠ADB，且∠ACB＝∠BCD＝90°，

∴△ABC∽△BDC，

∴

∵A（﹣3，0），C（1，0），

∴AC＝4，

∵BC＝AC．

∴BC＝3，

∴AB＝＝＝5，

∵，

∴，

∴CD＝，

∴AD＝AC+CD＝4+＝，

∴OD＝AD﹣AO＝，

∴點D的坐標為：（，0）；

（2）如圖2，當∠APC＝∠ABD＝90°時，

∵∠APC＝∠ABD＝90°，∠BAD＝∠PAQ，

∴△APQ∽△ABD，

∴，

∴

∴m＝，

如圖3，當∠AQP＝∠ABD＝90°時，

∵∠AQP＝∠ABD＝90°，∠PAQ＝∠BAD，

∴△APQ∽△ADB，

∴，

∴

∴m＝；

綜上所述：當m＝或時，△APQ與△ADB相似．