Question

【題目】如圖,正方形ABCD的對角線相交于O.點M,N分別是邊BC,CD上的動點(不與點B,C,D重合),AM,AN分別交BD于E,F兩點,且∠MAN=45°,則下列結論:①MN=BM+DN;②△AEF∽△BEM;③;④△FMC是等腰三角形.其中正確的有（　　）

A.1個B.2個C.3個D.4個

Answer 1

【答案】D

【解析】

將△ABM繞點A逆時針旋轉90°至△ADM′，根據正方形的性質和且∠MAN=45°可證明MN=BM+DN；根據三角形的內角和得到∠M′+∠AFD=180°，得到∠AFE=∠M′，推出∠AMB=∠AFE，于是得到△AEF∽△BEM，故②正確；根據相似三角形的判定定理得到△AEB∽△FEM，根據相似三角形的性質得到∠EMF=∠ABE=45°，推出△AFM是等腰直角三角形，于是得到；故③正確；根據全等三角形的性質得到AF=CF，等量代換得到△FMC是等腰三角形，故④正確．

解：將△ABM繞點A逆時針旋轉90°至△ADM′，

∵∠M′AN=∠DAN+∠MAB=45°，AM′=AM，BM=DM′，

∵∠M′AN=∠MAN=45°，AN=AN，

∴△AMN≌△AM′N′（SAS），

∴MN=NM′，

∴M′N=M′D+DN=BM+DN，

∴MN=BM+DN；故①正確；

∵∠FDM′=135°，∠M′AN=45°，

∴∠M′+∠AFD=180°，

∵∠AFE+∠AFD=180°，

∴∠AFE=∠M′，

∵∠AMB=∠M′，

∴∠AMB=∠AFE，

∵∠EAF=∠EBM=45°，

∴△AEF∽△BEM，故②正確；

∴，即，

∵∠AEB=∠MEF，

∴△AEB∽△FEM，

∴∠EMF=∠ABE=45°，

∴△AFM是等腰直角三角形，

∴；故③正確；

在△ADF與△CDF中，

，

∴△ADF≌△CDF（SAS），

∴AF=CF，

∵AF=MF，

∴FM=FC，

∴△FMC是等腰三角形，故④正確；

故選：D．