Question

請嘗試解決以下問題：
（1）如圖1，在正方形ABCD中，點E，F分別為DC，BC邊上的點，且滿足∠EAF=45°，連接EF，求證DE+BF=EF．
感悟解題方法，并完成下列填空：
將△ADE繞點A順時針旋轉90°得到△ABG，此時AB與AD重合，

由旋轉可得：AB="AD,BG=DE," ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°,
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，
因此，點G，B，F在同一條直線上．
∵∠EAF=45°  ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．
∵∠1=∠2，   ∴∠1+∠3=45°．
即∠GAF=∠_________．
又AG=AE，AF=AF
∴△GAF≌_______．
∴_________=EF，故DE+BF=EF．
（2）運用（1）解答中所積累的經驗和知識，完成下題：
如圖2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（AD＞BC），∠D＝90°，AD＝CD＝10，E是CD上一點，且∠BAE＝45°，DE＝4，求BE的長．

（3）類比（1）證明思想完成下列問題：在同一平面內，將兩個全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，A為公共頂點，∠BAC=∠AGF=90°，若∆ABC固定不動，∆AFG繞點A旋轉，AF、AG與邊BC的交點分別為D、E(點D不與點B重合，點E不與點C重合)，在旋轉過程中，等式BD+CE=DE始終成立，請說明理由．

Answer 1

解：(1)EAF、△EAF、GF                                              
(2) 過A作AG⊥BC，交BC延長線于G．

在直角梯形ABCD中，
∵AD∥BC，∴∠C＝∠D＝90°，
又∠CGA＝90°，AD＝CD，
∴四邊形AGCD為正方形．                                              
∴CG＝AD＝10．
已知∠BAE＝45°，
根據（1）可知，BE＝GB＋DE．                     
設BE＝x，則BG＝x－4，
∴BC＝14－x．
在Rt△BCE中，  ∵，即．      
解這個方程，得：x＝．
∴BE＝．                                                        
（3）證明:如下圖,將∆ACE繞點A順時針旋轉90°至∆ABH的位置，      

則CE=HB,AE=AH，∠ABH=∠C=45°，旋轉角∠EAH=90°.                
連接HD,在∆EAD和∆HAD中
∵AE=AH，∠HAD="∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD," AD=AD.
∴∆EAD≌∆HAD   ∴DH=DE                                       
又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°  ∴BD+HB=DH
即BD+CE=DE                      

（1）利用角之間的等量代換得出∠GAF=∠FAE，再利用SAS得出△GAF≌△EAF，得出答案；
（2）過A作AG⊥BC，交BC延長線于G，由正方形的性質得出CG=AD=10，再運用勾股定理和方程求出BE的長；
（3）運用旋轉性質和勾股定理判斷說明等式成立．