Question

【題目】如圖，已知：的直徑與弦的夾角，過點作的切線交的延長線于點．

求證：；

的直徑是，以點為圓心作圓，當半徑為多長時，與相切？

若，求圖中陰影部分的面積（結果精確到，）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）3；（3）4.1.

【解析】

（1）連接OC．根據圓周角定理即可求得∠COP=2∠ACO=60°，根據切線的性質定理以及直角三角形的兩個銳角互余，求得∠P=30°，即可證明；

（2）如圖連接BC．由圓周角定理知AC⊥BC，然后根據“AC與⊙B相切”知BC即為⊙B的半徑．

（3）陰影部分的面積即為直角三角形OCP的面積減去扇形OCB的面積．

（1）如圖，連接OC．

∵AO=OC，∴∠ACO=∠A=30°，∴∠COP=2∠ACO=60°．

∵PC切⊙O于點C，∴OC⊥PC．即∠OCP=90°，∴∠P=30°，∴∠A=∠P，∴AC=PC．

（2）如圖，連接BC．

∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，即AC⊥BC．

又∵AC與⊙B相切，∴BC即為⊙B的半徑．

在直角△ACB中，∠A=30°，AB=6，則BC=AB=3；

（3）在Rt△OCP中，∵∠P=30°，∴tan∠P==，∴OC=2．

∵S△OCP=CPOC=×6×2=6，S扇形COB=2π，∴S陰影=S△OCP﹣S扇形COB=6﹣2π≈4.1．