Question

【題目】某產品的年產量不超過100萬件，該產品的生產費用y（萬元）與年產量x（萬件）之間的函數圖象是頂點在原點的拋物線的一部分（如圖①所示）；該產品的銷售單價z（元/件）與年銷售量x（萬件）之間的函數圖象是如圖②所示的一條線段，生產出的產品都能在當年銷售完，達到產銷平衡，所獲毛利潤為w萬元．（毛利潤＝銷售額－生產費用）

（1）請直接寫出y與x以及z與x之間的函數關系式；

（2）求w與x之間的函數關系式；并求年產量多少萬件時，所獲毛利潤最大？最大毛利潤是多少？

（3）由于受資金的影響，今年投入生產的費用不會超過360萬元，今年最多可獲得多少萬元的毛利潤？

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）W＝，年產量為75萬件時毛利潤最大，最大毛利潤為1125萬元；（3）1080萬元

【解析】（1）先設出函數解析式，再通過待定系數法即可得出函數解析式；（2）根據“毛利潤＝銷售額－生產費用”可求出w與x之間的函數關系式，再通過頂點坐標可得出年產量的值及最大的毛利潤；（3）由y＝360，得出x的值，再通過關于w的二次函數的增減性即可得出答案.

解：（1），

（2）W＝

＝

＝

＝

∵<0，

∴當x＝75時，W有最大值1125

∴年產量為75萬件時毛利潤最大，最大毛利潤為1125萬元

（3）令y＝360，得，解得x＝±60（負值舍去）

由圖象可知，當0<y≤360時，0<x≤60

由W＝的性質可知，

當0<x≤60時，W隨x的增大而增大

∴當x＝60時，W有最大值1080

∴今年最多可獲得毛利潤1080萬元