Question

【題目】如圖，點D在⊙O的直徑AB的延長線上，點C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°．

（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為2，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：連接OC．

∵AC=CD，∠ACD=120°，

∴∠A=∠D=30°．

∵OA=OC，

∴∠2=∠A=30°．

∴∠OCD=180°﹣∠A﹣∠D﹣∠2=90°．即OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切線．

（2）

解：∵∠A=30°，

∴∠1=2∠A=60°．

∴S扇形BOC= ．

在Rt△OCD中，

∵ ，

∴CD=2 ．

∴ ．

∴圖中陰影部分的面積為： ．

【解析】此題綜合考查了等腰三角形的性質、切線的判定方法、扇形的面積計算方法．（1）連接OC．只需證明∠OCD=90°．根據等腰三角形的性質即可證明；（2）陰影部分的面積即為直角三角形OCD的面積減去扇形COB的面積．