Question

【題目】如圖，是的直徑，為的弦，，與的延長線相交于點，過點的切線交于點．

（1）求證：；

（2）若，求線段的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

（1）連接OB，如圖，根據圓周角定理得到∠ABD=90°，再根據切線的性質得到∠OBC=90°，然后利用等量代換進行證明；

（2）證明△AOP∽△ABD，然后利用相似比求BP的長．

（1）證明：連接OB，如圖，

∵AD是⊙O的直徑，

∴∠ABD=90°，

∴∠A+∠ADB=90°，

∵BC為切線，
∴OB⊥BC，

∴∠OBC=90°，

∴∠OBA+∠CBP=90°，

而OA=OB，

∴∠A=∠OBA，

∴∠CBP=∠ADB；

（2）解：∵OP⊥AD，

∴∠POA=90°，

∴∠P+∠A=90°，

∴∠P=∠D，

∴△AOP∽△ABD，

∴，即，

∴BP=7．