Question

數學課上，同學們探究下列命題的準確性：
（1）頂角為36°的等腰三角形具有一種特性，即經過它的某一頂點的一條射線可把它分成兩個小等腰三角形．為此，請你解答：如圖，已知在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，射線BD平分∠ABC交AC于點D．
求證：△DAB與△BCD都是等腰三角形；
（2）在證明了該命題后，有同學發現：下面兩個等腰三角形也具有這種特性．請你在下列兩個三角形中分別畫出一條射線，把它們分別分成兩個小等腰三角形，并在圖中標出所畫小等腰三角形兩個底角的度數；
（3）接著，同學們又發現：還有一些既不是等腰三角形也不是直角三角形的三角形也具有這種特性，請你畫出兩個具有這種特性的三角形示意圖（要求兩三角形不相似，而且既不是等腰三角形也不是直角三角形，并標出每一個小等腰三角形各內角的度數）．

Answer 1

（1）證明：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵射線BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=36°．
∴∠BDC=72°，
∴AD=BD=BC．
∴△DAB與△BCD都是等腰三角形．

（2）解：圖1中將頂角90°平分，圖2中將頂角108°分解成36°和72°兩個角；

（3）解：如圖（符合即可）

分析：（1）可以先計算出∠ABC和∠C的度數為（180°-36°）÷2=72°，再求出∠DBA和∠DBC的度數72°÷2=36°；
（2）圖1根據頂角的度數180°-2×45°=90°，分解成兩個角都是45°，圖2中一個與底角36°相等、另一個180°-36°×3=72°再作為底角；
（3）先作一個等腰三角形，然后在這個三角形的基礎上作出另一個等腰三角形．
點評：答對本題，需要對等腰三角形的性質和判定比較熟悉．