Question

數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們探究下面命題的正確性：頂角為36°的等腰三角形具有一種特性，即經(jīng)過(guò)它某一頂點(diǎn)的一條直線(xiàn)可把它分成兩個(gè)小等腰三角形．為此，請(qǐng)你解答問(wèn)題（1）．

（1）已知：如圖①，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，直線(xiàn)BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D．求證：△ABD與△DBC都是等腰三角形；
（2）在證明了該命題后，小喬發(fā)現(xiàn)：下面兩個(gè)等腰三角形如圖②、③也具有這種特性．請(qǐng)你在圖②、圖③中分別畫(huà)出一條直線(xiàn)，把它們分成兩個(gè)小等腰三角形，并在圖中標(biāo)出所有等腰三角形兩個(gè)底角的度數(shù)；
（3）接著，小喬又發(fā)現(xiàn)：其它一些非等腰三角形也具有這樣的特性，即過(guò)它其中一個(gè)頂點(diǎn)畫(huà)一條直線(xiàn)可以將原三角形分成兩個(gè)小等腰三角形．請(qǐng)你畫(huà)出兩個(gè)不同類(lèi)型且具有這種特性的三角形的示意圖，并在圖中標(biāo)出可能的各內(nèi)角的度數(shù)．（說(shuō)明：要求畫(huà)出的兩個(gè)三角形不相似，且不是等腰三角形．）
（4）請(qǐng)你寫(xiě)出兩個(gè)符合（3）中一般規(guī)律的非等腰三角形的特征．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等邊對(duì)等角，及角平分線(xiàn)定義易得∠1=∠2=36°，∠C=72°，那么∠BDC=72°則可得AD=BD=CB∴△ABD與△DBC都是等腰三角形；
（2）把等腰直角三角形分為兩個(gè)小的等腰直角三角形即可，把108°的角分為36°和72°即可；
（3）利用直角三角形的中線(xiàn)等于直角三角形斜邊的一半可得任意直角三角形的中線(xiàn)把直角三角形分為兩個(gè)等腰三角形；由（1），（2）易得所知的兩個(gè)角要么是2倍關(guān)系，要么是3倍關(guān)系，可猜測(cè)只要所給的三個(gè)角中有2個(gè)角是2倍或3倍關(guān)系都可得到上述圖形；
（4）按照發(fā)現(xiàn)的（3）的特點(diǎn)來(lái)寫(xiě)，注意去掉特殊三角形的形式．

解答：（1）證明：在△ABC中，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，
∵∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=

1

2

（180°-∠A）=72°，（1分）
∵BD平分∠ABC，∴∠1=∠2=36°
∴∠3=∠1+∠A=72°，
∴∠1=∠A，∠3=∠C，
∴AD=BD，BD=BC，
∴△ABD與△BDC都是等腰三角形．

（2）解：如下圖所示：


（3）解：如圖所示：


（4）解：
特征一：直角三角形（直角邊不等）；
特征二：2倍內(nèi)角關(guān)系，如圖①．0°＜α＜45°，其中，α≠30°，α≠36°，a≠

180o

7

；
特征三：3倍內(nèi)角關(guān)系，如圖②．0°＜α＜45°，其中，α≠30°，α≠36度．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的判定；注意應(yīng)根據(jù)題中所給的范例用類(lèi)比的方法推測(cè)出把一般三角形分為兩個(gè)等腰三角形的一般結(jié)論．