Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，C、D為⊙O上異于A、B的兩點，連接CD，過點C作CE⊥DB，交CD的延長線于點E，垂足為點E，直徑AB與CE的延長線相交于點F．

(1)連接AC，AD，求證：∠DAC+∠ACF＝180°；

(2)若∠ABD＝2∠BDC，

①求證：CF是⊙O的切線；

②當BD＝6，tanF＝時，求CF的長．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)①證明見解析；②CF＝．

【解析】

（1）根據圓周角定理證得∠ADB=90°，即AD⊥BD，由CE⊥DB證得AD∥CF，根據平行線的性質即可證得結論；

（2）①連接OC．先根據等邊對等角及三角形外角的性質得出∠3=2∠1，由已知∠4=2∠1，得到∠4=∠3，則OC∥DB，再由CE⊥DB，得到OC⊥CF，根據切線的判定即可證明CF為⊙O的切線；

②由CF∥AD，證出∠BAD=∠F，得出tan∠BAD=tan∠F=，求出AD=BD=8，利用勾股定理求得AB=10，得出OB=OC=，5，再由tanF=，即可求出CF．

(1)證明：∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB＝90°，

∴AD⊥DB，

∵CE⊥DB，

∴AD∥CF，

∴∠DAC+∠ACF＝180°；

(2)連接OC．如圖：

∵OA＝OC，

∴∠1＝∠2．

又∵∠3＝∠1+∠2，

∴∠3＝2∠1．

又∵∠4＝2∠∠BDC，∠BDC＝∠1，

∴∠4＝2∠1，

∴∠4＝∠3，

∴OC∥DB．

∵CE⊥DB，

∴OC⊥CF．

又∵OC為⊙O的半徑，

∴CF為⊙O的切線；

②∵CF∥AD，

∴∠BAD＝∠F，

∴tan∠BAD＝tanF＝＝，

∵BD＝6，

∴AD＝BD＝8，

∴AB＝＝10，

∴OB＝OC＝5，

∵OC⊥CF，

∴∠OCF＝90°，

∴tanF＝＝，

解得：CF＝．