Question

【題目】我們給出如下定義：兩個圖形和，在上的任意一點引出兩條垂直的射線與相交于點、，如果，我們就稱、為點的垂等點，、為點的垂等線段，點為垂等射點．

(1)如圖1，在平面直角坐標系中，點為軸上的垂等射點，過作軸的平行線，則直線上的為點的垂等點的是_______；

(2)如果一次函數圖象過，點為垂等射點的一個垂等點且另一個垂等點也在此一次函數圖象上，在圖2中畫出示意圖并寫出一次函數表達式；

(3)如圖3，以點為圓心，1為半徑作，垂等射點在上，垂等點在經過(3，0)，(0，3)的直線上，如果關于點的垂等線段始終存在，求垂等線段長的取值范圍(畫出圖形直接寫出答案即可)．

Answer 1

【答案】(1)；(2)或；(3).

【解析】

(1)如圖1，判斷與點P構成等腰直角三角形的兩個點即可得到結論；

(2)①如圖2，當垂等點直線右側時，先根據AAS證明，進而可得，進一步即可求出點N坐標，再根據待定系數法即可求出一次函數解析式；②如圖3，當垂等點直線左側時，同理可求；

(3)如圖4，當點在第一和第三象限的角平分線上且時，取得最小或最大值，延長交于，連接，先用待定系數法求出直線的解析式，再根據等腰直角三角形的性質求出PM的最小值和最大值，即得PM的范圍．

解：(1)如圖1，分別過，作⊥x軸于，軸于，

∴，

∴，

∴，所以為點的垂等點，

故答案為：；

(2)①如圖2，當垂等點在直線右側時，作NF⊥x軸于點F，

依題意，可知，

∵，

∴．

∴（AAS）．

∴．

∵，∴．

∵點在第一象限，∴．

∴過點、的一次函數表達式為；

②如圖3，當垂等點直線左側時，依題意同理可得，

∴過點、的一次函數表達式為；

(3)如圖4，當點在第一和第三象限的角平分線上且時，取得最小或最大值，

延長交于，連接，

∵，∴直線的解析式為，

當PM最小時，∵，∴，

∴的縱坐標為，∴橫坐標為，

∴，

同理可求得PM的最大值為，

∴長的取值范圍：．