Question

如圖1，點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，將一直角三角形的直角頂點放在點O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方.
(1)將圖1中的三角板繞點O逆時針旋轉至圖2，使一邊OM在∠BOC的內部，且恰好平分∠BOC，問：直
線ON是否平分∠AOC？請說明理由；
(2) 若∠BOC=120°.
①將圖1中的三角板繞點O按每秒10°的速度沿逆時針方向旋轉一周，在旋轉的過程中，第t秒時，直線ON恰好平分銳角∠AOC，則t的值為          （直接寫出結果）；
②將圖1中的三角板繞點O順時針旋轉至圖3，使ON在∠AOC的內部，請探究：
∠AOM與∠NOC之間的數量關系，并說明理由.

Answer 1

（1）已知∠AOC=60°，
∴∠BOC=120°，
又OM平分∠BOC，
∠COM=∠BOC=60°，
∴∠CON=∠COM+90°=150°；
（2）延長NO，
∵∠BOC=120°
∴∠AOC=60°，
當直線ON恰好平分銳角∠AOC，
∴∠AOD=∠COD=30°，
即順時針旋轉300°時NO延長線平分∠AOC，

由題意得，10t=300°
∴t=30，
當NO平分∠AOC，
∴∠NOR=30°，
即順時針旋轉120°時NO平分∠AOC，
∴10t=120°，
∴t=12，
∴t=12或30；
（3）∵∠MON=90°，∠AOC=60°，
∴∠AOM=90°-∠AON、∠NOC=60°-∠AON，
∴∠AOM-∠NOC=（90°-∠AON）-（60°-∠AON）=30°，
所以∠AOM與∠NOC之間的數量關系為：∠AOM-∠NOC=30°．

（1）由角的平分線的定義和等角的余角相等求解；
（2）由∠BOC=120°可得∠AOC=60°，則∠AON=30°或∠NOR=30°，即順時針旋轉300°或120°時ON平分∠AOC，據此求解；
（3）因為∠MON=90°，∠AOC=60°，所以∠AOM=90°-∠AON、∠NOC=60°-∠AON，然后作差即可．